In meccanica quantistica si considerano spesso dei potenziali dati da funzioni discontinue o addirittura da funzioni delta. Ciò è tuttavia possibile anche in meccanica classica, e vediamo qui come risolvere il problema associato e quali sono le differenze con la meccanica quantistica. Abbiamo già visto la forza funzione delta, che corrisponde ad un potenziale scalino, mentre oggi vediamo il potenziale funzione delta.
Abbiamo un potenziale $V(x) = V_0 \delta(x)$ e una particella con posizione $x(t)$ e massa $m$. Questa volta il potenziale è estremamente singolare e darebbe come forza una derivata della funzione delta, $F(x) = -V_0 \delta’(x)$. In questo caso possiamo provare diverse cose ma notiamo che questo potenziale è troppo singolare per essere gestito con i metodi soliti. Allora scegliamo di regolarizzare il potenziale delta scrivendo
$$V_\epsilon (x) = V_0 \begin{cases} 0 & \abs{x} > \epsilon \\ \frac{\epsilon-\abs{x}}{\epsilon^2} & \abs{x} < \epsilon \end{cases}$$
Il potenziale ha la forma di un triangolo, un po’ come in figura:
Presa da Wikimedia.
Nel nostro caso il triangolo ha base pari a $2\epsilon$ e altezza pari a $1/\epsilon$, e quindi l’area totale sotto la curva della funzione delta regolarizzata è esattamente $1$ come dovrebbe. Nel limite $\epsilon \to 0$ il potenziale tende perciò alla delta, $V_\epsilon (x) \to V_0 \delta(x)$. Nel nostro caso effettueremo i calcoli con $\epsilon$ finito e poi solo alla fine manderemo $\epsilon \to 0$.
Possiamo calcolare la forza prodotta dal potenziale, cioè
$$F = -V’_\epsilon(x) = V_0 \begin{cases} 0 & \abs{x} > \epsilon \\ \frac{1}{\epsilon^2} & -\epsilon < x <0 \\ -\frac{1}{\epsilon^2} & 0 < x < \epsilon \end{cases}$$
Ora supponiamo di partire nella regione senza potenziale $x_0 < 0$ e $v_0 > 0$ in modo tale da andare a sbattere contro la funzione delta in $x=0$. Inizialmente avremo un moto uniforme $x=x_0+v_0 t$. Una volta raggiunto il punto $x = -\epsilon$ al tempo $t_0=-(x_0+\epsilon)/v_0$ incontreremo il potenziale. Potremmo risolvere l’equazione del moto $m \ddot{x} = F(x)$ in ognuna delle quattro regioni, imponendo la continuità di posizione e velocità, tuttavia viene fuori un calcolo molto complicato e in fondo inutile.
Possiamo infatti utilizzare la conservazione dell’energia, ottenendo
$$\frac12 m v_0^2 = \frac12 m v^2 + V(x)$$
Perciò abbiamo due casi:
- se $V_0 > 0$ allora poiché possiamo scegliere $\epsilon$ arbitrariamente piccolo, il potenziale è arbitrariamente alto e quindi la particella ci sbatte contro e viene riflessa. Per la conservazione dell’energia, la velocità cambia direzione ma non valore assoluto.
- altrimenti se $V_0 < 0$ allora il potenziale è una specie di buca; la particella perciò ci cade dentro, accelera e poi riesce fuori con la stessa identica velocità continuando dritta come se non fosse successo nulla.
Queste due conclusioni non dipendono da $\epsilon$ e quindi valgono anche nel caso in cui $\epsilon \to 0$: se il potenziale è positivo, allora riflette semplicemente la particella; se è negativo, invece, è come se non esistesse. Questa situazione è ben diversa dalla meccanica quantistica, in cui invece anche la presenza di un potenziale negativo ha effetti importanti sul sistema.