In meccanica quantistica si considerano spesso dei potenziali dati da funzioni discontinue o addirittura da funzioni delta. Ciò è tuttavia possibile anche in meccanica classica, e vediamo qui come risolvere il problema associato e quali sono le differenze con la meccanica quantistica.
Abbiamo una particella classica in una dimensione con posizione $x(t)$ e massa $m$, soggetta ad una forza $F = \lambda \delta(x)$. L’equazione del moto è data da:
$$m \ddot{x} = \lambda \delta(x)$$
Intuitivamente per $x \neq 0$ la funzione delta è nulla e quindi la particella è libera e seguirà un moto rettilineo uniforme, ovvero $x=x_0+v_0 t$. Supponiamo di partire al tempo $t=0$ alla posizione $x_0$ con velocità $v_0$. Fisicamente possiamo immaginare che nel punto $x=0$ ci sia una parete infinitamente dura. In relazione ai valori iniziali, avremo diverse possibilità:
- Se $x_0 > 0$ e $v_0 > 0$ allora $x=x_0+v_0 t > 0$ non sarà mai nulla e quindi il moto sarà semplicemente rettilineo uniforme; in altre parole ci spostiamo via dalla parete e non la tocchiamo mai.
- Se $x_0 < 0$ e $v_0 < 0$ allora $x=x_0+v_0 t < 0$ non sarà mai nulla e quindi come sopra avremo di nuovo un moto rettilineo uniforme, solo nell’altra direzione.
- Se invece $x_0$ e $v_0$ hanno segni diversi, allora ad un certo punto sbatteremo contro la parete, ovvero quando $x=0 \implies t = -v_0/x_0$. Dobbiamo quindi capire che succede sbattendo contro la parete.
A tal fine consideriamo la conservazione dell’energia. La forza $F=\lambda \delta(x)$ è dovuta al potenziale $V(x) = -\lambda \theta(x)$ in modo che $F=-V'(x)$, dove $\theta(x)$ è la funzione scalino, uguale a $1$ per $x>0$ e nulla altrimenti. La conservazione dell’energia allora ci dice che
$$E = \frac12 m v^2 -\lambda \theta(x)$$
è conservata. Ora vediamo la velocità $v$ come funzione implicita della posizione. Inizialmente abbiamo $E= \frac12 m v_0^2$. Se $x_0 > 0$ ciò avviene per $x$ positivo e quindi $\theta(x)=1$ perciò abbiamo
$$v(x) = \begin{cases} \pm \sqrt{v_0^2 +\frac{2\lambda}{m} } & x < 0 \\ v_0 & x > 0 \end{cases}$$
Altrimenti se $x_0<0$ allora $\theta(x)=0$ e quindi
$$v(x) = \begin{cases} v_0 & x < 0 \\ \pm \sqrt{v_0^2 +\frac{2\lambda}{m} } & x > 0 \end{cases}$$
In altre parole quando la particella va a sbattere contro la parete di potenziale, che essendo una funzione scalino ha altezza finita, la sua velocità cambia in maniera discontinua. Consideriamo adesso per semplicità il secondo caso, $x_0 < 0$ e quindi $v_0 > 0$. L’altro caso sarà simile.
- Se $\lambda > 0$ allora la forza è positiva e quindi è repulsiva; poiché è anche infinitamente forte, allora la particella che ci va a sbattere viene rimandata indietro e quindi dobbiamo scegliere il segno $-$ nell’equazione per $v$. In altre parole la particella va a sbattere contro la parete, e torna indietro con velocità addirittura maggiore di prima.
- Se invece $\lambda < 0$ allora la forza è negativa e quindi attrattiva. Abbiamo però due casi: se la particella ha velocità iniziale sufficiente, ovvero $v_0^2 > -\frac{2\lambda}{m}$, allora potrà superare la barriera di potenziale e continuerà ad allontanarsi dal potenziale, ovvero scegliamo il segno $+$ nell’equazione. Se invece non avrà velocità sufficiente, allora semplicemente rimarrà attaccata alla parete e si fermerà quindi in $x=0$. Possiamo immaginarci questa parete come una specie di melassa appiccicosa.
Tirando le somme, la particella inizialmente si muove in maniera uniforme; se va a sbattere contro la parete, in relazione alla velocità iniziale e al tipo di parete (repulsiva o attrattiva) potrà o attraversare la parete e quindi proseguire con velocità ridotta, o rimanere appiccicata alla parete, oppure può essere repulsa dalla parete e tornare indietro con velocità maggiore di prima.
Possiamo anche fare un confronto con la meccanica quantistica: in quel caso tutte le varie possibilità che abbiamo menzionato si realizzano con una certa probabilità. Ovvero la particella ha una certa probabilità di tornare indietro e una certa probabilità di attraversare la barriera. È interessante notare che se la particella non ha abbastanza velocità, mentre nel caso classico rimane appiccicata alla parete, nel caso quantistico ha sempre una piccola probabilità di attraversare la parete. Questo fenomeno è il famoso effetto tunnel.