Supponiamo di avere due variabili casuali normali identicamente distribuite, con densità di probabilità congiunta
$$f(x,y)=f(x)f(y) = \frac{1}{2\pi} \exp{\pqty{-\frac{x^2+y^2}{2}}}$$
Vogliamo trovare qual è la distribuzione del quoziente delle due variabili, che chiamiamo $u = y/x$. A tal fine definiamo oltre a $u$ anche un’altra variabile $v=x$ ed effettuiamo il cambio di variabili $(x,y)\to (u,v)$ tramite le formule:
$$\begin{cases} u = y/x \\ v = x \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x = v \\ y = uv \end{cases}$$
Sappiamo che la probabilità di misurare dei valori $(x,y)$ in una regione $S$ nel piano $xy$ è data da
$$P(S) = \int_S dx\,dy\,f(x,y)$$
Possiamo quindi effettuare la trasformazione $(x,y)\to (u,v)$ e in linea del tutto generale otteniamo
$$P(S) = \int_{S’} du\,dv\,\abs{J}\,f(x(u,v),y(u,v))$$
dove $J$ è il solito Jacobiano della trasformazione. In questo caso sarebbe il determinante della matrice
$$\begin{pmatrix} \pdv{x}{u} & \pdv{x}{v} \\ \pdv{y}{u} & \pdv{y}{v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ v & u\end{pmatrix}$$
Il determinante perciò è $J=-v$ e quindi
$$P(S) = \int_{S’} du\,dv\,\abs{v}\,\frac{1}{2\pi} \exp{\pqty{-\frac{v^2(1+u^2)}{2}}}$$
Perciò la densità di probabilità rispetto alle nuove variabili è data da
$$g(u,v) =\frac{1}{2\pi} \abs{v} \exp{\pqty{-\frac{v^2(1+u^2)}{2}}}$$
In questo caso la densità di probabilità congiunta delle due variabili non può più essere scissa nel prodotto delle densità di probabilità delle due variabili separatamente. Per trovare la densità di probabilità del quoziente $u=y/x$ dobbiamo quindi integrare via $v$ ottenendo
\begin{align*}
g(u) &= \int_{-\infty}^{+\infty} dv\, g(u,v)=\\
&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} dv\,\abs{v}\exp{\pqty{-\frac{v^2(1+u^2)}{2}}}=\\
&=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} dv\,v\exp{\pqty{-\frac{v^2(1+u^2)}{2}}}=\\
&=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} dz\,\exp{\pqty{-z(1+u^2)}}=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+u^2}
\end{align*}
dove abbiamo sostituito $z=v^2/2$. Pertanto il quoziente di due variabili normali è distribuito secondo una distribuzione di Cauchy. Visivamente assomiglia parecchio ad una Gaussiana, ma è più piatta e ha delle code più polpose.