La cromodinamica quantistica è una teoria di calibro $\SU(N)$ (nel mondo reale $N=3$) in $3+1$ dimensioni, ed include un campo di calibro e dei campi fermionici di materia. In questo articolo consideriamo una versione molto semplificata della teoria, in $0+1$ dimensioni, cioè in meccanica quantistica. Come spesso succede, i modelli semplificati tornano lo stesso utili per studiare questioni altrimenti inaccessibili, ad esempio qui.
In $0+1$ dimensioni, il tensore $F_{\mu\nu}$ ha un solo componente che è nullo per antisimmetria, e quindi il campo di calibro non ha termine cinetico. L’unico altro termine nella Lagrangiana della teoria è l’azione di Dirac per i fermioni. Ma in $0+1$ dimensioni uno spinore di Dirac ha $2^0 = 1$ componenti, come abbiamo visto in precedenza. Perciò il campo spinoriale $\psi$ ha un solo componente spinoriale e $N$ componenti di colore scegliendolo nella rappresentazione fondamentale di $\SU(N)$. Abbiamo una sola matrice gamma, $\gamma^0$, e l’algebra di Clifford è $(\gamma^0)^2 = 1$. Poiché gli spinori hanno solo un componente, $\gamma^0$ è semplicemente un numero e quindi possiamo prendere $\gamma^0=1$. Perciò abbiamo anche $\bar\psi = \psi^\dagger$. La Lagrangiana della teoria è quindi in totale
$$\mathcal{L} = \bar\psi(i D_0 -m)\psi = \bar\psi(i\partial_0 + A_0 -m)\psi$$
dove $\psi$ è una variabile di Grassmann. Nel caso in cui $A_0=0$, la Lagrangiana $\mathcal{L}$ descrive $N$ oscillatori armonici fermionici disaccoppiati con frequenza $m$, di cui abbiamo parlato in un precedente articolo. Esplicitando i componenti di colore, la Lagrangiana è
$$\mathcal{L} = i \bar\psi_i \dot \psi_i + \bar\psi_i \bqty{(A_0)^a (T^a)_{ij} -m \delta_{ij}}\psi_j$$
dove i $T^a$ sono i generatori di $\SU(N)$, sono hermitiani e hanno traccia nulla. Con la trasformazione di Legendre otteniamo l’Hamiltoniana classica
$$\mathcal{H} = \bar\psi (m-A_0)\psi$$
Come abbiamo visto nel precedente articolo, possiamo calcolarci i momenti coniugati e le parentesi di Poisson, e quindi simmetrizzando entrambi i termini dell’Hamiltoniana classica otteniamo l’Hamiltoniana quantistica
$$\hat{\mathcal{H}} = m \pqty{\psi^\dagger\psi-\frac{N}{2}}- \psi^\dagger A_0 \psi$$
con gli anticommutatori
$$\{\psi_i, \psi_j^\dagger\} = \delta_{ij}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \{\psi_i, \psi_j\} = \{\psi_i^\dagger, \psi_j^\dagger\} = 0$$
In questo caso abbiamo scelto di trattare solo i fermioni come dinamici e quindi $A_0$ è un campo esterno dipendente dal tempo. Perciò abbiamo $N$ oscillatori fermionici accoppiati tramite il campo esterno. Lo spazio di Fock è bidimensionale per ogni componente di $\psi$, per una dimensione totale di $2^N$. Si può anche aggiungere un potenziale chimico col termine $-\mu \psi^\dagger \psi$, che però può essere semplicemente assorbito nella massa (che a questo punto può anche essere negativa).
Se invece volessimo trattare $A_0$ come un campo dinamico, possiamo calcolare il suo momento coniugato dalla Lagrangiana, che è nullo come al solito. Perciò prima di effettuare la trasformazione di Legendre effettuiamo una trasformazione di calibro per porre $A_0 = 0$ e otteniamo quindi l’Hamiltoniana di $N$ oscillatori armonici fermionici liberi:
$$\hat{\mathcal{H}} = m \pqty{\psi^\dagger\psi-\frac{N}{2}}$$
Il prezzo da pagare per imporre $A_0=0$ è che ora lo spazio degli stati fisico è dato soltanto da quegli stati $\ket{\psi}$ che soddisfano la “legge di Gauss” non-Abeliana
$$G^a \ket{\psi} = 0 \quad \quad G^a = \psi^\dagger_i (T^a)_{ij} \psi_j$$
che in pratica dice che gli stati fisici non possono avere carica di colore, cosa ben nota dalla cromodinamica quantistica solita. Il fatto di imporre questo vincolo sugli stati in qualche modo accoppia gli oscillatori, che non sono più liberi di oscillare indipendentemente.