Conosciamo tutti l’oscillatore armonico quantistico, dato dall’Hamiltoniana
$$H = \frac12 p^2 + \frac12 \omega^2 x^2 = \omega \pqty{a^\dagger a +\frac12}$$
dove
$$a = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} (\omega x + ip)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} (\omega x -ip)$$
sono gli operatori di creazione e distruzione, che soddisfano le relazioni di commutazione $[a,a^\dagger]=1$, derivanti direttamente dalle relazioni di commutazione canoniche $[x,p]=i$.
La Lagrangiana corrispondente a questo oscillatore è data “invertendo” la trasformazione di Legendre, ovvero
$$L = p \dot{x} -\frac12 \pqty{p^2 + \omega^2 x^2}$$
Anche qui possiamo introdurre le variabili $a$ e $\bar a$, definite come gli operatori di creazione e distruzione, ma stavolta sono appunto solo variabili. In questi termini, la Lagrangiana è data da
$$L = i \bar a \dot a -\omega \bar a a$$
La quantizzazione canonica darebbe luogo alle giuste relazioni di commutazione $[a, a^\dagger]=1$ dove $a, \bar a \to a, a^\dagger$ ora sono operatori.
Poiché tutte le relazioni di commutazione sono appunto di commutazione, quest’oscillatore è tipo bosonico. Tuttavia nella Lagrangiana possiamo anche sostuire $a$ e $\bar a$ con delle variabili di Grassmann $\psi$, ottenendo
$$L = i \bar \psi \dot \psi -\omega \bar \psi \psi$$
che è la Lagrangiana di un oscillatore armonico fermionico, appunto. Possiamo quindi provare a ricavarne l’Hamiltoniana quantistica tramite quantizzazione canonica. Il momento coniugato a $\psi$ è dato da
$$\pi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot \psi} = -i\bar\psi$$
dove il segno meno extra è dovuto al fatto che $\psi$ è una variabile di Grassmann. Perciò l’Hamiltoniana classica è data da
$$\mathcal{H} = \dot \psi \pi -\mathcal{L} =\omega \bar\psi \psi$$
La parentesi di Poisson canonica è data da $\{\pi, \psi\}_{P}=1$ ovvero $\{\psi, \bar\psi\}_{P} = -i $ e quindi quantizzando, gli $\psi$ sono operatori fermionici con relazioni di anticommutazione
$$\{\psi, \psi^\dagger\} = 1$$
L’Hamiltoniana quantistica ha delle ambiguità di ordinamento. Infatti quantizzando nella maniera più semplice, cioè soltando promuovendo gli $\psi$, $\bar \psi$ a operatori, otteniamo
$$\mathcal{H} =\omega \psi^\dagger \psi$$
Mentre possiamo anche scrivere l’Hamiltoniana classica prima come $\mathcal{H} = \frac{\omega}{2} \pqty{\bar\psi\psi-\psi\bar\psi}$ e poi quantizzando e utilizzando le relazioni di anticommutazione otteniamo
$$\mathcal{H} = \omega \pqty{\psi^\dagger\psi-\frac12}$$
che è una forma simmetrica all’oscillatore bosonico, con un segno meno di differenza. Tuttavia l’oscillatore fermionico è ben più semplice: infatti $\psi^\dagger\psi$ semplicemente conta il numero di fermioni, che può essere $0$ o $1$ e quindi in totale abbiamo solo due stati.