Consideriamo un operatore autoaggiunto $A$ definito in un dominio $D(A)$. Poiché è autoaggiunto, allora avrà una base completa di autovettori ortonormali, almeno se ammettiamo come autovettori anche le distribuzioni come la funzione delta. Supporremo comunque che lo spazio di Hilbert sia separabile, cosicché la base è numerabile. Ciò vuol dire che ogni vettore $\ket{\psi} \in H$ può essere espresso in termini di una base $\ket{n}$,
$$\ket{\psi} = \sum_n c_n \ket{n}$$
oppure in termini più concreti,
$$\psi(x) = \sum_n c_n \psi_n(x)$$
Quando scriviamo questa formula intendiamo formalmente che le somme parziali a destra convergono a $\psi(x)$ in norma, cioè
$$\lim_{N \to \infty} \norm{\psi(x) -\sum_{n=1}^N c_n \psi_n(x)} = 0$$
Come abbiamo visto in un precedente articolo, ciò è diverso dalla convergenza puntuale e quindi in particolare $\psi(x)$ può tranquillamente differire dalla somma infinita in un insieme di misura nulla.
Nel caso interessante in cui $A$ è illimitato e autoaggiunto, allora il dominio $D(A)$ non può coincidere con l’intero spazio di Hilbert, $D(A) \neq \mathcal H$ (teorema di Hellinger-Toeplitz). Consideriamo perciò un vettore che non appartiene al dominio, $\ket{\psi} \notin D(A)$. Poiché $A$ ha una base completa, possiamo scrivere comunque
$$\psi(x) = \sum_n c_n \psi_n(x)$$
Perciò possiamo calcolare direttamente
$$A \psi(x) = \sum_n c_n \lambda_n \psi_n(x)$$
dove $A \psi_n = \lambda_n \psi_n$ per definizione. Sembra perciò possibile trovare il valore di $A$ su un vettore che non appartiene al suo dominio. L’unica via di uscita da questa contraddizione è che la somma a destra dell’ultima equazione non converga, e ciò è esattamente ciò che deve succedere. Poiché gli spazi di Hilbert sono per definizione completi, ciò vuol dire che le somme parziali della somma infinita a destra non sono neanche sequenze di Cauchy.
Tipicamente ciò che succede è che la sequenza sia divergente. Infatti se $A$ è illimitato anche i $\lambda_n$ sono illimitati e quindi moltiplicare per $\lambda_n$ peggiora la convergenza della serie. Se invece $A$ fosse limitato, allora i $\lambda_n$ sono limitati e quindi la serie converge sempre, e ciò è coerente col fatto che per un operatore autoaggiunto limitato il dominio è l’intero spazio di Hilbert.