Nel precedente articolo abbiamo considerato il modello di Ising classico in una dimensione su un reticolo con $N$ siti
$$Z = \sum_{\{s\}} e^{-E(\{s\})} \quad \quad E = -J \sum_{\langle ij \rangle} s_{i} s_{j} -B \sum_i s_i$$
e abbiamo visto che a meno di una costante moltiplicativa la funzione di partizione è identica a quella di un modello quantistico
$$Z = \tr\pqty{e^{-\widetilde{\beta} H}}$$
dove $\widetilde{\beta} = \Delta \tau N$ e $H$ è l’Hamiltoniana di un singolo spin le cui costanti di accoppiamento dipendono da $J$ e $B$. Per stabilire la corrispondenza abbiamo usato la matrice di trasferimento del modello di Ising classico,
$$Z = \sum_{\{s\}} e^{-E(\{s\})} = \sum_{s_1}\sum_{s_2}\cdots \sum_{s_N} V(s_1, s_2) V(s_2, s_3) \cdots V(s_{N-1}, s_N)V(s_N, s_1)$$
con
$$V = \begin{pmatrix}V(1,1) & V(1,-1)\\ V(-1,1) & V(-1,-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{J+B} & e^{-J}\\ e^{-J}& e^{J-B}\end{pmatrix}$$
e una simile espressione, facilmente ottenibile, per il modello quantistico:
$$Z = \tr\pqty{e^{-\widetilde{\beta} H}} = \sum_{n_0, n_1, \ldots, n_{N-1} } \bra{n_0} e^{-\Delta \tau H} \ket{n_1} \bra{n_1} e^{-\Delta \tau H} \ket{n_2} \cdots \bra{n_{N-1}} e^{-\Delta \tau H} \ket{n_0}$$
Nel precedente articolo siamo riusciti a trovare esplicitamente una matrice $H$ tale che $e^{-\Delta \tau H} \propto V$, ma ciò non sarà possibile in pratica per sistemi più complessi. In questo articolo sviluppiamo la corrispondenza in maniera leggermente diversa, e richiederemo che le due funzioni di partizione siano uguali solo in un certo limite. Ciò semplifica notevolmente il problema. In particolare richiederemo soltanto che
$$V \propto e^{-\Delta \tau H} + \order{\Delta \tau^2} = 1 -\Delta \tau H +\order{\Delta \tau^2} \tag{*}$$
Cioè che le due funzioni di partizione siano uguali soltanto nel limite $\Delta \tau \to 0$. Tuttavia, per effettuare questo limite dovremo contemporaneamente effettuare un limite di tutte le altre variabili. Innanzitutto se per il sistema quantistico ci interessa una temperatura inversa $\widetilde{\beta} = \Delta \tau N$ finita, dobbiamo anche mandare $N \to \infty$. Sappiamo che nel limite $\Delta \tau \to 0$ la matrice $T=e^{-\Delta \tau H}$ diventa l’identità, perciò in questo limite $V$ deve diventare proporzionale all’identità. Guardando alla forma di $V$, ciò vuol dire che il limite $\Delta \tau \to 0$ corrisponde a $J \to \infty$ e $B \to 0$, cosicché i termini diagonali siano identici e quelli non-diagonali nulli. Ora scrivendo $e^{\pm \beta B}$ in termini di seno e coseno iperbolico, possiamo scrivere
$$V = e^{J} \cosh{\pqty{ B}} \bqty{ 1 + \tanh{\pqty{B}}\sigma_z + \frac{e^{-2J}}{\cosh{\pqty{B}}} \sigma_x }$$
Pertanto confrontando con l’espressione $(*)$ per ottenere l’Hamiltoniana più generale possiamo porre
$$\tanh{\pqty{B}} = -a\Delta\tau \quad \quad \frac{e^{-2J}}{\cosh{\pqty{B}}} = -h\Delta\tau$$
Queste due espressioni riproducono correttamente i limiti $J \to \infty, B \to 0$ per $\Delta \tau \to 0$, con la prescrizione che $\frac{e^{-2 J}}{\sinh{\pqty{B}}} \equiv a/h$ rimanga fisso. In questa maniera otteniamo l’Hamiltoniana:
$$H =-a\sigma_z -h\sigma_x$$
che è l’Hamiltoniana di un sistema di Ising in $0$ dimensioni, o alternativamente di un singolo spin $1/2$. Come nel caso precedente, la costante di proporzionalità diverge nel limite, ma essendo solo una costante non ci interessa. La differenza tra $V$ e $T$ è $\mathcal{O}(\Delta \tau^2)$ e quindi guardando all’espressione per $Z=\tr\pqty{e^{-\widetilde{\beta}H}}$, poiché abbiamo $N$ termini, l’errore che commettiamo rimpiazzando $e^{-\Delta \tau H}$ con $1-\Delta \tau H$ è $\mathcal{O}(N \Delta \tau^2)=\mathcal{O}(\Delta \tau)$ e perciò è nullo nel limite $\Delta \tau \to 0$.
Poiché appunto ci serve identificare $V$ e $T$ solo in un limite particolare, il calcolo pratico dell’Hamiltoniana $H$ è molto semplificato e applicabile più in generale anche per sistemi più complessi. Ora però la corrispondenza tra i due sistemi è leggermente più complessa. Supponiamo di effettuare una simulazione del sistema quantistico; in tal caso dovremo specificare dei valori delle costanti di accoppiamento $a$ e $h$, e una temperatura inversa $\widetilde{\beta}$. Per ottenere lo stesso risultato nel sistema classico dovremo quindi innanzittuto scegliere $N$ grande (che poi manderemo $\to \infty$) e quindi siamo costretti a scegliere $\Delta \tau = \widetilde{\beta}/N$. A questo punto dati $a,h$ e $\Delta \tau$, ciò fissa $J$ e $B$ utilizzando le formule date sopra. Dovremmo perciò effettuare la simulazione nel sistema classico di lunghezza $N$ con costanti di accoppiamento $J$ e $B$. L’errore nella funzione di partizione sarà dell’ordine di $\Delta \tau$, e perciò scegliendo $N$ sempre più grandi siamo in grado di ridurlo a piacimento. Se siamo in grado di effettuare il limite $N\to \infty$ allora i due risultati saranno identici.
Notiamo la connessione tra i limiti che siamo stati costretti a scegliere, cioè $J\to \infty$ e $B \to 0$, e il gruppo di rinormalizzazione per il modello di Ising, di cui avevamo parlato in un precedente articolo. In quel caso avevamo trovato che $J=\infty$ e $B=0$ è l’unico punto fisso non banale del sistema. In questo caso otteniamo diversi sistemi quantistici per ogni direzione diversa da cui possiamo arrivare al punto fisso; queste direzioni sono parametrizzate dalle costanti $a$ e $h$.