Consideriamo il modello di Ising classico in una dimensione spaziale, con energia
$$E = -J \sum_{\langle ij \rangle} s_{i} s_{j} -B \sum_i s_i$$
dove le $s_i = \pm 1$. Possiamo scrivere la funzione di partizione del modello termodinamico:
$$Z = \sum_{\{s\}} e^{-\beta E(\{s\})}$$
Poniamo $\beta=1$ senza perdita di generalità, ovvero lo assorbiamo nelle costanti $J$ e $B$. Ora vogliamo trovare un sistema quantistico che abbia la stessa termodinamica del modello di Ising classico. Ovvero vogliamo trovare un’Hamiltoniana $H$ e uno spazio di Hilbert tale che
$$Z = \tr\pqty{e^{-\widetilde{\beta} H}}$$
dove la nuova temperatura inversa $\widetilde{\beta}$ potrebbe essere diversa da quella del modello classico. A tal fine consideriamo degli stati ortonormali $\{\ket{n}\}$ e notiamo che possiamo scrivere
$$Z = \tr\pqty{e^{-\widetilde{\beta} H}} = \sum_{n} \bra{n} e^{-\widetilde{\beta} H} \ket{n}$$
A questo punto possiamo spezzettare l’evoluzione lungo la coordinata temporale immaginaria $\widetilde{\beta}$ in $N$ pezzi di durata $\Delta \tau$, tali che $\widetilde{\beta} = N \Delta \tau$. Perciò inserendo una base completa di stati ad ogni passo otteniamo
$$Z = \tr\pqty{e^{-\widetilde{\beta} H}} = \sum_{n_0, n_1, \ldots, n_{N-1} } \bra{n_0} e^{-\Delta \tau H} \ket{n_1} \bra{n_1} e^{-\Delta \tau H} \ket{n_2} \cdots \bra{n_{N-1}} e^{-\Delta \tau H} \ket{n_0}$$
A questo punto definiamo la matrice di trasferimento $T \equiv e^{-\Delta \tau H}$. La funzione di partizione $Z$ è data dal prodotto dei suoi elementi di matrice. In particolare in un articolo precedente avevamo visto che lo stesso modello di Ising classico può essere risolto utilizzando una matrice di trasferimento. Abbiamo infatti
$$Z = \sum_{\{s\}} e^{-E(\{s\})} = \sum_{s_1}\sum_{s_2}\cdots \sum_{s_N} V(s_1, s_2) V(s_2, s_3) \cdots V(s_{N-1}, s_N)V(s_N, s_1)$$
dove i $V(s_i, s_{i+1})$ sono i quattro elementi della matrice
$$V = \begin{pmatrix}V(1,1) & V(1,-1)\\ V(-1,1) & V(-1,-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{J+B} & e^{-J}\\ e^{-J}& e^{J-B}\end{pmatrix}$$
Le somiglianze tra le due espressioni sono palesi, e ci permettono di individuare come scegliere l’Hamiltoniana $H$ e il suo spazio di Hilbert. Perciò innanzitutto poiché gli $s$ possono prendere due valori, vediamo che lo spazio di Hilbert è bidimensionale, ovvero abbiamo solo due stati nella base ortonormale. Ora scrivendo $e^{\pm B}$ in termini di seno e coseno iperbolico, notiamo che possiamo scrivere
$$V = e^{J} \bqty{1 \cosh{\pqty{B}} + \sinh{\pqty{B}}\sigma_z + e^{-2J} \sigma_x }$$
Vogliamo perciò trovare l’Hamiltoniana $H$, che ormai sappiamo essere una matrice bidimensionale, e un $\Delta \tau$ tale che $V \propto e^{-\Delta \tau H}$. Sappiamo che in generale
$$e^{-x \hat{n} \cdot \sigma} = 1 \cosh{x} -\hat{n} \cdot \sigma \sinh{x}$$
dove $\sigma=(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$ contiene le tre matrici di Pauli. La formula può essere dimostrata facilmente utilizzando l’espansione in serie per l’esponenziale e le proprietà delle matrici di Pauli. Si tratta quindi di trovare $x$ e $\hat{n}$. Guardando all’espressione per $V$ in termini di matrici di Pauli, dobbiamo avere
$$\cosh{x} = A \cosh{\pqty{B}} \quad \quad -n_x \sinh{x}=Ae^{-2J}\quad -n_y=0 \quad -n_z \sinh{x} = A \sinh{B}$$
Poiché $\hat{n}$ è un vettore unitario, ciò implica
$$\sinh^2{x}=A^2 \pqty{ \sinh^2{\pqty{B}} + e^{-4J}}$$
Il prefattore $A$ è fissato dalla condizione $\cosh^2{x}-\sinh^2{x}=1$, che implica $A^2=\frac{1}{1-e^{-4J}}$. Perciò otteniamo
$$x = \cosh^{-1}{\pqty{\frac{\cosh{\pqty{B}}}{\sqrt{1-e^{-4J}}}}}\quad \quad \hat{n} = -\frac{A}{\sinh{x}} \pqty{e^{-2J}, 0, \sinh{B}}$$
Quindi otteniamo
$$\Delta \tau H = x \hat{n} \cdot \sigma = -\frac{x A}{\sinh{x}} \pqty{e^{-2J} \sigma_x + \sinh{B}\, \sigma_z }$$
In altre parole, il modello classico di Ising in una dimensione è equivalente ad un singolo spin con un termine $\sigma_x$ e $\sigma_z$. Il significato della corrispondenza è la seguente. Supponiamo di voler calcolare un’osservabile, ad esempio l’energia media, nel modello classico. Allora dobbiamo specificare dei valori per $J,B$ (le costanti d’accoppiamento) e $N$ (la lunghezza del reticolo), e possiamo quindi calcolare l’energia per questi valori (ad esempio tramite una simulazione numerica). Il senso della corrispondenza è che possiamo calcolare lo stesso osservabile anche nella teoria quantistica scegliendo $\Delta \tau$ e $H$ in modo tale l’ultima condizione sia verificata; in tal caso staremmo considerando il sistema alla temperatura inversa $\widetilde{\beta} =\Delta \tau N$ dove $N$ è lo stesso del sistema classico.
Poiché non c’è una chiara demarcazione tra $\Delta \tau$ e $H$ siamo in realtà liberi di scegliere $\Delta \tau$. Ad esempio possiamo porre $\Delta \tau = x/\sinh{x}$ e decidere che il resto appartiene ad $H$, oppure possiamo porre $\Delta \tau=1$ e quindi $H$ avrebbe un’espressione leggermente diversa. Ponendo $\Delta \tau = 1$ otteniamo un fatto molto interessante, ovvero che la temperatura inversa del sistema quantistico $\widetilde{\beta} = N$ è identica alla lunghezza del sistema classico. Perciò se vogliamo simulare un sistema quantistico a temperatura nulla il sistema classico deve avere $N \to \infty$.
Concludiamo osservando due cose: la prima è che l’Hamiltoniana che abbiamo ottenuto è parecchio brutta, e che non possiamo aspettarci di trovare una formula esatta per la matrice di trasferimento in generale; perciò nel prossimo articolo vedremo che esiste un diverso significato per la corrispondenza quantistica che sarà valida solo in un certo limite. Ciò ci sarà utile per ottenere la corrispondenza per sistemi più complicati. Inoltre mostreremo che la corrispondenza non vale solo per la funzione di partizione, ma può essere estesa anche ad una corrispondenza di operatori.