Elenchiamo una lista di scomposizioni di matrici. I risultati riguardano prevalentemente le matrici quadrate, e solo quando indicato le matrici rettangolari.
Diagonalizzazione
La scomposizione più nota è la diagonalizzazione. Una matrice $A$ è diagonalizzabile se può essere scritta come $A = P D P^{-1}$ dove $P$ è invertibile e $D$ è diagonale.
Non tutte le matrici sono diagonalizzabili: infatti una matrice è diagonalizzabile se e solo se i suoi autovettori formano una base dell’intero spazio vettoriale.
Una condizione sufficiente per la diagonalizzazione è la normalità. Una matrice $A$ è detta normale se commuta con la sua coniugata hermitiana, $A^\dagger A = A A^\dagger$. Per le matrici normali vale il teorema spettrale: una matrice normale è diagonalizzabile con $P$ unitaria. In particolare, tutte le matrici hermitiane, così come quelle reali simmetriche, ma anche le matrici unitarie sono tutte normali e perciò diagonalizzabili.
Per le matrici hermitiane e quindi anche per le reali simmetriche vale anche un risultato ulteriore: gli autovalori sono infatti reali.
Non è difficile dimostrare anche una conversa del teorema spettrale: se una matrice è diagonalizzabile tramite una trasformazione unitaria, allora è normale.
Scomposizione ai valori singolari
Un risultato poco noto, ma spesso utile (ad esempio nella teoria elettrodebole nel modello standard delle particelle) è che se utilizziamo matrici diverse da due lati, allora ogni matrice può essere resa diagonale. In altri termini, data una matrice $A$ qualsiasi, allora esistono matrici unitarie $P$ ed $S$ tali che $A = P D S^{-1}$ dove $D$ è una matrice diagonale con elementi reali.
La stessa scomposizione è valida anche per una matrice rettangolare qualsiasi, nel qual caso è detta scomposizione ai valori singolari, di cui il caso precedente è un caso particolare. I valori singolari sarebbero appunto gli elementi diagonali di $A$. In questo caso se $A$ è $m \times n$, allora $P$ è unitaria $m \times m$, $D$ è diagonale $m \times n$ e $S$ è unitaria $n \times n$. Inoltre la diagonale di $D$ è formata da numeri reali non-negativi.
Forma canonica di Jordan
La forma canonica di Jordan è un risultato che generalizza la diagonalizzazione per matrici generiche. Data una matrice $A$ qualsiasi, allora esiste una matrice invertibile $P$ tale che $A=P J P^{-1}$ dove $J$ è una matrice diagonale a blocchi della forma:
$$J = \begin{pmatrix} J_1 & & \\ & \ddots & \\ & & J_k \end{pmatrix}$$
dove ognuna delle $J_i$ è diagonale, oppure prende la forma
$$J_i = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & 1 & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}$$
ovvero è una matrice con uno degli autovalori di $A$ sulla diagonale, e il numero $1$ sulla diagonale immediatamente sopra. Ne segue che $J$ è in generale una matrice triangolare i cui elementi diagonali sono gli autovalori di $A$, mentre sulla diagonale immediatamente sopra c’è $1$ o $0$.
Scomposizione di Schur
La scomposizione di Schur è un’altra forma di quasi-diagonalizzazione valida per matrici generiche. In particolare data una matrice quadrata qualsiasi $A$, possiamo scriverla come $A=U R U^{-1}$ dove $U$ è una matrice unitaria e $R$ è una matrice triangolare superiore. In particolare gli autovalori di $A$ si troveranno sulla diagonale di $R$.
La scomposizione di Schur è utile perché la matrice $U$ è unitaria, e trova perciò applicazioni in meccanica quantistica. Che $U$ sia unitaria è più restrittivo rispetto alla forma di Jordan, che infatti restringe di più la forma della matrice centrale. Similmente richiedere che le due matrici unitarie che agiscono da entrambi i lati siano identiche permette una restrizione minore della matrice centrale rispetto alla scomposizione ai valori singolari.
Scomposizione $LU$
La scomposizione $LU$ afferma che ogni matrice quadrata $A$ può essere scomposta come il prodotto di una matrice triangolare inferiore $L$ (lower triangular in inglese) e una matrice triangolare superiore $U$ (upper triangular in inglese), ovvero $A=LU$.
La scomposizione $LU$ può essere ottenuta tramite eliminazione gaussiana ed è utile per risolvere sistemi di equazioni.
Scomposizione $QR$
La scomposizione $QR$ è simile in spirito alla scomposizione $LU$ ed è anch’essa utile per risolvere sistemi di equazioni. Afferma che ogni matrice quadrata $A$ può essere scritta come $A=QR$ dove $Q$ è unitaria e $R$ triangolare superiore.
Scomposizione polare
La scomposizione polare di una matrice è simile alla forma polare di un numero complesso, $z=r e^{i\theta}$. In questo caso una matrice qualsiasi $A$ può essere scritta come $A=PU$ oppure come $A=UP$ dove $U$ è una matrice unitaria (cioè la fase, poiché $U^\dagger U = 1$) e $P$ è una matrice semidefinita positiva (cioè $r$, che è positiva). Se $A$ è invertibile, allora le due matrici sono uniche, e $P$ è definita positiva.
Possiamo vedere questa scomposizione come un caso particolare della scomposizione a valori singolari. Infatti abbiamo $A = U D V^\dagger=U D U^\dagger U V^\dagger$ dove quindi $U D U^\dagger$ è semidefinita positiva e $U V^\dagger$ è unitaria.
Questa scomposizione è particolarmente utile nel caso dei gruppi di Lie, in cui si può utilizzare per dedurre varie proprietà.
Radice quadrata
La radice quadrata di una matrice, detta anche scomposizione di Cholesky, afferma che ogni matrice quadrata hermitiana e semidefinita positiva $A$ può essere scritta come $A= R^\dagger R$ dove $R$ è triangolare superiore, con elementi diagonali non-negativi.
Nel caso in cui $A$ sia definita positiva, allora la scomposizione è unica e gli elementi diagonali di $R$ sono positivi.