La somma di variabili normali è di nuovo normale

Consideriamo due variabili casuali normali indipendenti $X$ e $Y$ con media $\mu_X$, $\mu_Y$ e varianza $\sigma_X^2$, $\sigma_Y^2$. Vogliamo dimostrare che $X+Y$ è di nuovo distribuita normalmente con  media $\mu_X+\mu_Y$ e varianza $\sigma_X^2+\sigma_Y^2$. Questo fenomeno è simile a quanto avevamo visto in un precedente articolo sul perché gli errori si aggiungono in quadratura.

Per estensione, se abbiamo delle variabili normali $X_i$ con media $\mu_i$ e varianza $\sigma_i^2$ allora la variabile $\sum_i X_i$ sarà di nuovo normale con media $\sum_i \mu_i$ e varianza $\sum_i \sigma_i^2$.

La distribuzione normale ha densità di probabilità

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp{\bqty{-\frac12 \pqty{\frac{x-\mu}{\sigma}}^2}}$$

Per cui la densità di probabilità congiunta di $X$ e $Y$ sarà data da

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\frac{1}{2\pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}}\exp{\bqty{-\frac12 \pqty{\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}}^2-\frac12 \pqty{\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}}^2}}$$

Ora effettuiamo una trasformazione di variabili ponendo $u=x+y$ e $v=y$,

$$\begin{cases} u = x+y \\ v = y \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x = u-v \\ y = v \end{cases}$$

Per cui il Jacobiano della trasformazione sarà il determinante di

$$\begin{pmatrix} \pdv{x}{u} & \pdv{x}{v} \\ \pdv{y}{u} & \pdv{y}{v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$

ovvero $J=1$. Per cui volendo calcolare la probabilità di trovare $(x,y)$ in una regione $S$ del piano $xy$ abbiamo

$$P(S) = \int_S \,dx\,dy\,f(x,y) = \int_{S’}\,du\,dv\,f(x(u,v),y(u,v))$$

Perciò la densità di probabilità rispetto alle nuove variabili $u,v$ è semplicemente

$$g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))=\frac{1}{2\pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}}\exp{\bqty{-\frac12 \pqty{\frac{u-v-\mu_X}{\sigma_X}}^2-\frac12 \pqty{\frac{v-\mu_Y}{\sigma_Y}}^2}}$$

Per ottenere la distribuzione di $u$ dobbiamo quindi integrare via $v$:

$$g(u) =\frac{1}{2\pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}} \int_{-\infty}^{+\infty} dv\,\exp{\bqty{-\frac12 \pqty{\frac{u-v-\mu_X}{\sigma_X}}^2-\frac12 \pqty{\frac{v-\mu_Y}{\sigma_Y}}^2}}$$

A tal scopo vogliamo scrivere esplicitamente l’argomento dell’esponenziale come un polinomio in $v$:

$$g(u)=\frac{1}{2\pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}} \int_{-\infty}^{+\infty} dv\,\exp{\bqty{-\frac12 \pqty{\frac{1}{\sigma_X^2}+\frac{1}{\sigma_Y^2}} v^2 +v \pqty{\frac{u-\mu_X}{\sigma_X^2} +\frac{\mu_Y}{\sigma_Y^2} }-\frac12 \pqty{\frac{u-\mu_X}{\sigma_X}}^2-\frac12 \frac{\mu_Y^2}{\sigma_Y^2}}}$$

Possiamo quindi utilizzare il risultato generale (che si ottiene tramite completamento del quadrato)

$$\int_{-\infty}^{+\infty}dx\, e^{-ax^2+bx+c} =\sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}+c}$$

ottenendo perciò

$$g(u)=\frac{1}{2\pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}} \sqrt{\frac{2\pi \sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}}\exp{\bqty{\frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)}\pqty{\frac{u-\mu_X}{\sigma_X^2} +\frac{\mu_Y}{\sigma_Y^2} }^2-\frac12 \pqty{\frac{u-\mu_X}{\sigma_X}}^2-\frac12 \frac{\mu_Y^2}{\sigma_Y^2}}}$$

Semplificando otteniamo in definitiva

$$g(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \pqty{\sigma_X^2+ \sigma_Y^2}}}  \exp{\pqty{-\frac{(u-\mu_X-\mu_Y)^2}{2\pqty{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}}}}$$

Per cui la distribuzione di $u=x+y$ è di nuovo normale con media $\mu_X+\mu_Y$ e varianza $\sigma_X^2+\sigma_Y^2$.