Consideriamo il sistema quantistico dato da una particella libera, cioè senza potenziale, su un cerchio di raggio $R$. Chiamiamo la variabile sul cerchio $x$ e identifichiamo perciò $x = x + 2\pi R$. Vogliamo calcolare la funzione di partizione del sistema, e lo faremo con due metodi. In questo articolo considereremo il più semplice dei due, cioè il metodo hamiltoniano. Nel precedente articolo abbiamo invece considerato il metodo lagrangiano. Per semplicità poniamo $\hbar = 1$.
Poiché la particella è libera, abbiamo solo l’energia cinetica e quindi l’Hamiltoniana è semplicemente
$$H = -\frac{1}{2m}\dv{^2}{x^2}$$
Le autofunzioni soddisferanno quindi $H \psi = E \psi$ con condizioni al contorno periodiche, $\psi(x+2\pi R)=\psi(x)$. Ovvero,
$$-\frac{1}{2m}\psi^{\prime\prime}(x) = E\psi$$
Questa è la tipica equazione differenziale del second’ordine a coefficienti costanti. Per $E > 0$, avremo le autofunzioni periodiche che vogliamo; se invece $E<0$ allora le autofunzioni saranno esponenziali crescenti e decrescenti, e non periodiche; mentre per $E=0$ saranno funzioni lineari, che sono periodiche solo se costanti. Le autofunzioni accettabili avranno quindi la forma
$$\psi_n(x) = e^{i n x / R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n \in \Z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E_n = \frac{n^2}{2m R^2}$$
Lo stato fondamentale è perciò dato da $\psi_0 \equiv 1$ con energia nulla, ed è unico. Al contrario tutti gli stati eccitati sono degeneri, e in particolare sono doppi; infatti $\psi_n$ e $\psi_{-n}$ hanno la stessa energia.
Avendo calcolato gli autostati, possiamo procedere direttamente al calcolo della funzione di partizione. Avremo infatti
$$Z = \tr{\pqty{e^{-\beta H}}} = \sum e^{-\beta E_n} = \sum_{n \in \Z} \exp{\pqty{-\frac{\beta}{2m R^2}n^2}}$$
Questa somma non può essere semplificata ulteriormente ed è nota come una delle funzioni theta di Jacobi. Nel precedente articolo avevamo ottenuto lo stesso risultato utilizzando il metodo lagrangiano.