Consideriamo il sistema quantistico dato da una particella libera, cioè senza potenziale, su un cerchio di raggio $R$. Chiamiamo la variabile sul cerchio $x$ e identifichiamo perciò $x = x + 2\pi R$. Nel prossimo articolo ripeteremo lo stesso calcolo con il metodo hamiltoniano. Per semplicità poniamo $\hbar = 1$.
In questo caso l’azione euclidea è data da
$$S[x] = \int_0^\beta \frac{m}{2} \dot{x}^2\,d\tau$$
e pertanto vogliamo calcolare l’integrale sui cammini
$$Z = \int \mathcal{D}x\, e^{-S[x]}$$
dove sappiamo che dobbiamo imporre condizioni al contorno periodiche lungo il tempo euclideo, cioè $x(\tau)=x(\tau+\beta)$. Questa condizione deriva dalla costruzione generale dell’integrale sui cammini.
Dobbiamo quindi calcolare l’azione per ogni possibile mappa $x(\tau)$. In particolare poiché anche il codominio è periodico, le mappe $\tau$ sono mappe $x: S^1_\beta \to S^1_{2\pi R}$, e sono perciò classificate dal primo gruppo di omotopia $\pi_1(S^1)=\Z$. Ad ogni mappa è cioè assegnato un numero intero detto numero di avvolgimento, che descrive quante volte la mappa fa il giro del cerchio. In particolare queste mappe dovranno essere periodiche sul cerchio, $x = x + 2\pi R$. Per tener conto di questo fatto poniamo
$$x(\tau) = y(\tau) + \frac{2\pi R k \tau }{\beta}$$
dove $k$ è il numero di avvolgimento della mappa $x$ e $y$ è una mappa con numero di avvolgimento nullo. In altre parole $0 \leq y(\tau) \leq 2\pi R$, per cui non c’è bisogno di identificazioni ulteriori nel codominio. A questo punto possiamo scomporre $y$ nella sua serie di Fourier,
$$y(\tau) = \frac{y_0}{\sqrt{\beta}} + \sqrt{\frac{2}{\beta}}\sum_{n=1}^\infty \bqty{a_n \cos{\pqty{\frac{2\pi n \tau}{\beta}}} + b_n \sin{\pqty{\frac{2\pi n \tau}{\beta}}}}$$
Notiamo appunto che nella serie di Fourier non compare da nessuna parte $R$ e infatti la serie di Fourier non sa nulla della periodicità del codominio. Infatti la serie di Fourier è valida per funzioni $f: S^1 \to \C$, cioè funzioni periodiche complesse e non per funzioni $f: S^1 \to S^1$ come nel nostro caso. Per $y$ possiamo far finta che $y: S^1 \to \R$ perché $0 \leq y(\tau) \leq 2\pi R$ e quindi non c’è bisogno di identificare punti diversi del codominio, mentre ciò è necessario per $x$ generico con $k \neq 0$. In altre parole, mentre il seno e il coseno formano una base per le funzioni $S^1 \to \R$, non formano una base delle funzioni $S^1\to S^1$: ad esempio $x(\tau)=\tau$ è periodica nel nostro caso perché $2\pi R = 0$, ma non come funzione $S^1 \to \R$. In quest’ultimo caso avremo la cosiddetta onda a dente di sega di cui possiamo calcolare sì la serie di Fourier, che sarà però discontinua al bordo dove esibirà comportamenti bizzarri. Nel caso invece di $S^1\to S^1$ la funzione $x(\tau)=\tau$ è invece perfettamente continua al bordo.
Per concludere questo escursus menzioniamo anche il modo generale di calcolare il numero di avvolgimento, che è dato da $k = \frac{1}{2\pi R} \int_0^\beta \dot{x} d\tau$. Se il codominio fosse semplicemente connesso varrebbe il teorema fondamentale del calcolo integrale e l’integrale varrebbe $x(\beta)-x(0)=0$ per la periodicità. Tuttavia in questo caso il dominio è $S^1$, che non è semplicemente connesso e quindi il teorema non vale, come abbiamo visto nella serie sulla coomologia. Possiamo verificare che per ogni $y$ dato dalla sua serie di Fourier il numero di avvolgimento sarà nullo: infatti $\dot{y}$ conterrà solo seno e coseno, il cui integrale su un periodo è nullo. Invece la funzione $\tau \to \frac{2\pi R k \tau }{\beta}$, come è facile verificare, ha proprio numero di avvolgimento pari a $k$.
Ora ritorniamo al calcolo. Con la sostituzione che abbiamo effettuato troviamo
$$S[x] =\frac{m}{2} \int_0^\beta \pqty{\dot{y} + \frac{2\pi R k}{\beta}}^2 d\tau=\frac{2m\pi^2 R^2 k^2}{\beta} + S[y]$$
dove $\int_0^\beta \dot{y} d\tau = 0$ perché come abbiamo visto $y$ ha il numero di avvolgimento nullo. Per effettuare l’integrale sui cammini dobbiamo quindi sommare su tutti i $k$ e integrare su tutti gli $y$, ovvero:
$$Z = \int \mathcal{D}x\, e^{-S[x]} = \sum_{k \in \Z} \exp{\pqty{-\frac{2m\pi^2 R^2 k^2}{\beta}}}\int \mathcal{D}y\, e^{-S[y]} $$
La serie di Fourier per $y$ ci permette di dare un significato preciso alla misura $\mathcal{D}y$. Definiamo infatti
$$\mathcal{D}y = \frac{dy_0}{\sqrt{2\pi}} \prod_{n=1}^\infty \frac{da_n\, db_n}{2\pi}$$
Possiamo quindi sostituire la serie di Fourier nell’azione ottenendo praticamente il teorema di Plancherel,
$$S[y] = \frac{m}{2} \int_0^\beta \dot{y}^2 d\tau =\frac{2 m \pi^2}{\beta^2} \sum_{n=1}^\infty n^2 \bqty{a_n^2 + b_n^2} $$
Perciò l’integrale su $y$ diventa un numero infinito di integrali Gaussiani,
\begin{align*}
\int \mathcal{D}y\, e^{-S[y]} &= \int \frac{dy_0}{\sqrt{2\pi}} \prod_{n=1}^\infty \frac{da_n\, db_n}{2\pi}\exp{\bqty{-\frac{2 m \pi^2}{\beta^2} \sum_{n=1}^\infty n^2 \bqty{a_n^2 + b_n^2} }} = \\
&=\pqty{\int \frac{dy_0}{\sqrt{2\pi}}}\pqty{\prod_{n=1}^\infty \int \frac{da_n}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{2 m \pi^2}{\beta^2} n^2 a_n^2}}\pqty{\prod_{n=1}^\infty \int \frac{db_n}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{2 m \pi^2}{\beta^2} n^2 b_n^2}}=\\
&=2\pi R \sqrt{\frac{\beta}{2\pi}} \prod_{n=1}^\infty \frac{\beta^2}{4\pi^2 m n^2}\\
\end{align*}
L’integrale su $y_0$ è uguale a $2\pi R \sqrt{\beta/2\pi}$ poiché per costruzione $0 < y < 2\pi R$ e quindi $0 < y_0/\sqrt{\beta} < 2\pi R$. L’ultima produttoria è divergente e va regolarizzata, infatti
$$\log \prod_{n=1}^\infty \frac{\alpha}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty -\log{\pqty{\frac{n^2}{\alpha}}}$$
che diverge. Possiamo regolarizzarla utilizzando la regolarizzazione tramite funzione zeta. Ponendo $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ abbiamo $\sum_{n=1}^\infty \pqty{\frac{\alpha}{n^{2}}}^s = \alpha^s \zeta(2s)$ e quindi derivando entrambi i lati rispetto a $s$ in $s=0$ abbiamo $2\zeta’(0)+\log{\alpha}\zeta(0)=\sum_{n=1}^\infty \log{\pqty{\frac{\alpha}{n^2}}}$. La funzione zeta notoriamente ammette un prolungamento analitico con $\zeta(0)=-\frac12$ e $\zeta’(0)=-\frac12 \log{2\pi}$, perciò otteniamo
$$\sum_{n=1}^\infty \log{\pqty{\frac{\alpha}{n^2}}}=-\log{2\pi}-\frac12 \log{\alpha}$$
Perciò in totale abbiamo $\prod_{n=1}^\infty \frac{\alpha}{n^2} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\alpha}}$ e quindi in definitiva
$$\int \mathcal{D}y\, e^{-S[y]} = R \sqrt{\frac{2\pi m}{\beta}}$$
Sostituendo nell’espressione per $Z$ otteniamo quindi
$$Z =R \sqrt{\frac{2\pi m}{\beta}} \sum_{k \in \Z} \exp{\pqty{-\frac{2m\pi^2 R^2 k^2}{\beta}}}$$
Questo risultato può sembrare diverso da quello che otterremo col metodo Hamiltoniano. Tuttavia possiamo applicare la formula di Poisson alla funzione gaussiana ottenendo
$$\sqrt{t}\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}e^{-\pi t k^2} =\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}e^{-\frac{\pi k^2}{t}}$$
e quindi abbiamo anche
$$Z =\sum_{k \in \Z} \exp{\pqty{-\frac{\beta k^2}{2m R^2}}}$$
che è lo stesso risultato del metodo hamiltoniano.
Prima di concludere facciamo un paio di commenti. In questo caso semplice si possono calcolare esplicitamente i livelli energetici, ma in generale ciò non è possibile e quindi il metodo hamiltoniano non può essere applicato. In questi casi il metodo lagrangiano risulta ancora utile, anche se tipicamente l’integrale sui cammini può essere calcolato soltanto tramite qualche approssimazione. Una caratteristica generale che viene illustrata in questi calcoli è che l’integrale sui cammini è dominato dalle eccitazioni topologiche: infatti il grosso del contributo all’integrale viene proprio dai cammini con $k \neq 0$, mentre quelli con $k=0$ contribuiscono solo una costante davanti all’integrale. In teorie dei campi tipicamente saranno gli istantoni a dominare l’integrale sui cammini.