Un tipico problema della meccanica quantistica è la buca di potenziale infinita. Nel presente articolo seguiamo questa tesi. Il sistema ha una sola dimensione e il potenziale è dato da
$$V(x)=\begin{cases}0 & \abs{x} < L/2 \\ \infty & \mathrm{altrimenti} \end{cases}$$
Poiché la buca di potenziale è infinita, nella regione $\abs{x} > L/2$ dove il potenziale è infinito non è possibile trovare la particella quantomeccanica e quindi la funzione d’onda è nulla $\psi(x)=0$.
Condizioni al contorno e Hamiltoniana
Tipicamente per risolvere l’equazione di Schrodinger associata al potenziale si richiede la continuità della funzione d’onda ai bordi della buca, cioè $\psi(\pm L/2)=0$. Tuttavia questa condizione, sebbene sia la più semplice, non è in realtà giustificata da motivazioni fisiche. Da un punto di vista fisico, dobbiamo richiedere:
- che l’Hamiltoniana $H$ sia auto-aggiunta; in questo caso dobbiamo verificare che sia un’operatore simmetrico (“Hermitiano”) e che il suo dominio sia uguale al dominio del suo operatore aggiunto.
- che la probabilità $\abs{\psi(x)}^2$ di trovare la particella nella zona proibita sia nulla, e inoltre che non ci sia flusso di probabilità nella zona proibita.
Consideriamo il primo punto. L’Hamiltoniana è
$$H = -\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2 +V(x)$$
Perciò abbiamo
\begin{align*}
(\chi, H\psi) &= -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-L/2}^{L/2} \chi(x)^* \partial_x^2 \psi(x)=\\
&=-\frac{\hbar^2}{2m}\bqty{\chi(x)^* \partial_x \psi(x) -\partial_x \chi(x)^* \psi(x)}\bigg\lvert_{-L/2}^{L/2} -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-L/2}^{L/2} \partial_x^2\chi(x)^* \psi(x)=\\
&=-\frac{\hbar^2}{2m}\bqty{\chi(x)^* \partial_x \psi(x) -\partial_x \chi(x)^* \psi(x)}\bigg\lvert_{-L/2}^{L/2} + (H\chi, \psi)
\end{align*}
dove abbiamo integrato per parti due volte. Perciò perché $H$ sia Hermitiana, dobbiamo avere
$$\bqty{\chi(x)^* \partial_x \psi(x) -\partial_x \chi(x)^* \psi(x)}\bigg\lvert_{-L/2}^{L/2}=0$$
Questa condizione può essere semplificata ulteriormente. Infatti per il requisito di località delle teorie fisiche non è possibile avere condizioni al contorno che mescolino contemporaneamente due punti diversi. Perciò la condizione dev’essere soddisfatta separatamente per $x=L/2$ e $x=-L/2$, ovvero:
$$\chi(\pm L/2)^* \partial_x \psi(\pm L/2) -\partial_x \chi(\pm L/2)^* \psi(\pm L/2)=0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\implies \,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\partial_x \psi(\pm L/2)}{\psi(\pm L/2)} = \frac{\partial_x \chi(\pm L/2)^*}{\chi(\pm L/2)^*}$$
Perciò in particolare tanto $\psi$ quando $\chi$ devono soddisfare
$$\gamma_{\pm}\psi(\pm L/2) \pm \partial_x \psi(\pm L/2) =0$$
dove $\gamma_{\pm} \in \R$. Queste sono dette condizioni al contorno di Robin, e il segno meno è convenzionale. In particolare nei limiti
- $\gamma_+=\gamma_-=0$ allora abbiamo abbiamo le cosiddette condizioni al contorno di Neumann, ovvero $\partial_x \psi(\pm L/2) =0$.
- $\gamma_+=\gamma_-=\infty$ allora abbiamo abbiamo le cosiddette condizioni al contorno di Dirichlet, ovvero $\psi(\pm L/2) =0$.
Con le condizioni al contorno di Robin, il flusso di probabilità $j(x)=\frac{\hbar}{2mi}\bqty{\psi^*(x)\partial_x \psi(x)-\psi(x)\partial_x \psi(x)^*}$ è zero al bordo, $j(\pm L/2)=0$, e ciò soddisfa perciò automaticamente la seconda condizione.
La scelta di diverse condizioni al contorno (diversi $\gamma_{\pm}$) avrà un effetto sullo spettro dell’Hamiltoniana. Lo spazio di Hilbert sarà perciò dato da (la chiusura de) lo spazio delle funzioni quadrato integrabili che soddisfino le condizioni al contorno di Robin prescelte. Tuttavia potremmo voler effettuare misurazioni di altri operatori, ad esempio l’impulso. Tuttavia per misurare $p$ dobbiamo prima assicuraci che sia autoaggiunto. Abbiamo
\begin{align*}
(\chi, p\psi) &= \frac{\hbar}{i} \int_{-L/2}^{L/2} \chi(x)^* \partial_x \psi(x)=\\
&=\frac{\hbar}{i}\bqty{\chi(x)^* \psi(x)}\bigg\lvert_{-L/2}^{L/2} -\frac{\hbar}{i} \int_{-L/2}^{L/2} \partial_x \chi(x)^* \psi(x)=\\
&=\frac{\hbar}{i}\bqty{\chi(x)^* \psi(x)}\bigg\lvert_{-L/2}^{L/2} +(p\chi,\psi)
\end{align*}
Per cui perché l’impulso sia hermitiano, dobbiamo richiedere che
$$\chi(L/2)^* \psi(L/2) -\chi(-L/2)^* \psi(-L/2) = 0$$
Con le condizioni al contorno di Robin in generale, perciò, l’impulso non è hermitiano. Scegliendo delle generiche condizioni al contorno abbiamo perciò un sistema in cui l’impulso non è un operatore Hermitiano, né un osservabile. Ciò è ben strano.
Consideriamo però più da vicino quest’ultima equazione. Una maniera di soddisfarla è richiedere che $\psi(L/2)=\psi(-L/2)$. Questa condizione implica quindi $\chi(L/2)=\chi(-L/2)$. Poiché $\psi$ e $\chi$ soddisfano le stesse condizioni al contorno, ciò vuol dire che con queste condizioni al contorno il dominio di $p$ è identico al dominio di $p^\dagger$, e perciò $p$ è autoaggiunto. Più in generale, scegliendo $\psi(L/2)=\lambda\psi(-L/2)$ otteniamo poi $\chi(L/2)=\frac{1}{\lambda^*}\chi(-L/2)$ e scegliendo $\lambda=\frac{1}{\lambda^*}$, ovvero $\lambda$ è una fase. Per diverse scelte di $\lambda$ otteniamo diverse estensioni autoaggiunte dell’operatore $p$.
Tuttavia, mentre nel caso di $H$ eravamo costretti a scegliere le stesse condizioni al contorno per $\psi$ e $\chi$, in questo caso non è così. Ad esempio, scegliendo $\psi(L/2)=\psi(-L/2)=0$, allora $\chi(\pm L/2)$ è completamente arbitrario. In questo caso il dominio di $p$ è un sottoinsieme del dominio di $p^\dagger$ e $p$ è hermitiano ma non è autoaggiunto.