La relazione d’indeterminazione di Heisenberg nella sua forma più famosa afferma che $\sigma_x\, \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}$ con tutte le implicazioni che conosciamo. Questa relazione può essere generalizzata in diversi modi; ad esempio per due operatori $A$ e $B$ hermitiani abbiamo in genere
$$\sigma_A \sigma_B \geq \frac12 \abs{\expval{[A,B]}}$$
Quest’ultima versione della relazione di indeterminazione mostra esplicitamente che la relazione di indeterminazione è dovuta alla non-commutazione dei due operatori. In realtà la relazione sopra può essere ulteriormente raffinata come mostrato su Wikipedia.
In questo articolo dimostreremo una relazione ancora più generale di quella proposta su Wikipedia, valida anche per operatori non hermitiani. Supponiamo che $A$ e $B$ siano operatori qualsiasi, anche non-hermitiani. Allora possiamo definire la varianza ponendo
$$\sigma_A^2 = \expval{A^\dagger A}-\expval{A^\dagger}\expval{A}$$
e alla stessa maniera per $B$. In questo modo $\sigma_A$ è reale e positivo e inoltre si riduce alla definizione solita nel caso in cui $A$ sia hermitiano. La relazione d’indeterminazione è sempre riferita ad uno stato $\psi$ su cui si calcola la varianza. Perciò definiamo un’altro stato
$$\phi = \pqty{1 + \alpha A + \beta B}\psi$$
dove $\alpha, \beta \in \C$. Sappiamo per costruzione che $I = \int dx\, \abs{\phi(x)}^2 \geq 0$. Proviamo perciò a minimizzare $I$ rispetto alle due variabili complesse $\alpha$ e $\beta$. Espandendo abbiamo
\begin{align*}
I &= \int dx\, \phi(x)^* \phi(x) =\\
&=1 + \alpha^* \expval{A^\dagger} + \beta^* \expval{B^\dagger} +\alpha \expval{A} + \alpha\alpha^* \expval{A^\dagger A} +\\
&+\alpha\beta^* \expval{B^\dagger A} + \beta\expval{B} + \beta\alpha^* \expval{A^\dagger B} + \beta\beta^* \expval{B^\dagger B}
\end{align*}
dove i valori attesi si intendono rispetto a $\psi$ e abbiamo supposto che $\psi$ fosse normalizzata. Allora derivando indipendentemente rispetto a $\alpha, \beta, \alpha^*, \beta^*$ otteniamo
$$\expval{A} + \alpha^* \expval{A^\dagger A} +\beta^* \expval{B^\dagger A}=0\\
\expval{B} + \alpha^* \expval{A^\dagger B} + \beta^* \expval{B^\dagger B}=0\\
\expval{A^\dagger}+\alpha \expval{A^\dagger A} + \beta \expval{A^\dagger B} =0\\
\expval{B^\dagger} +\alpha\expval{B^\dagger A} +\beta\expval{B^\dagger B}=0$$
Correttamente le seconde due equazioni sono le complesse coniugate delle prime due, che pertanto non serve considerare, ma è bene averle calcolate per sicurezza. Risolvendo otteniamo
$$\alpha =\frac{\expval{A^\dagger}\expval{B^\dagger B}-\expval{A^\dagger B}\expval{B^\dagger}}{\expval{B^\dagger A}\expval{A^\dagger B} -\expval{B^\dagger B}\expval{A^\dagger A}}\\
\beta =\frac{\expval{B^\dagger}\expval{A^\dagger A} -\expval{B^\dagger A}\expval{A^\dagger}}{\expval{B^\dagger A}\expval{A^\dagger B} -\expval{B^\dagger B}\expval{A^\dagger A}}$$
Perciò possiamo ora inserire in $I \geq 0$ per ottenere la disuguaglianza ottimale,
$$1 + \alpha^* \expval{A^\dagger} + \beta^* \expval{B^\dagger} +\alpha \expval{A} + \beta\expval{B}+ \alpha\alpha^* \expval{A^\dagger A} +\alpha\beta^* \expval{B^\dagger A} + \beta\alpha^* \expval{A^\dagger B} + \beta\beta^* \expval{B^\dagger B} \geq 0$$
Per semplificarci il lavoro raccogliamo $\alpha$ e utilizzando la prima equazione semplifichiamo ottenendo
$$1 + \alpha^* \expval{A^\dagger} + \beta^* \expval{B^\dagger} + \beta\expval{B} + \beta\alpha^* \expval{A^\dagger B} + \beta\beta^* \expval{B^\dagger B} \geq 0$$
Stesso discorso raccogliendo $\beta$ e usando la seconda equazione:
$$1 + \alpha^* \expval{A^\dagger} + \beta^* \expval{B^\dagger} \geq 0$$
Ora possiamo sostituire $\alpha$ e $\beta$. Notiamo che per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz il denominatore di $\alpha$ e $\beta$ è (reale e) negativo. Sostituendo otteniamo
$$\expval{B^\dagger A}\expval{A^\dagger B} -\expval{B^\dagger B}\expval{A^\dagger A}+ \expval{A} \expval{A^\dagger} \expval{B^\dagger B}-\expval{B^\dagger A}\expval{B} \expval{A^\dagger} + \expval{B}\expval{A^\dagger A} \expval{B^\dagger} -\expval{A^\dagger B}\expval{A} \expval{B^\dagger} \leq 0$$
Ora scrivendo $\expval{A^\dagger A} = \sigma_A^2 + \expval{A} \expval{A^\dagger}$ otteniamo
$$\sigma_B^2\sigma_A^2 \geq \expval{B^\dagger A}\expval{A^\dagger B}-\expval{B^\dagger A}\expval{B} \expval{A^\dagger} -\expval{A^\dagger B}\expval{A} \expval{B^\dagger}+\expval{B} \expval{B^\dagger} \expval{A} \expval{A^\dagger}$$
Quest’ultima disuguaglianza può essere riscritta in maniera elegante come
$$\sigma_B^2\sigma_A^2 \geq \pqty{\expval{B^\dagger A} -\expval{A} \expval{B^\dagger}}\pqty{\expval{A^\dagger B}-\expval{B} \expval{A^\dagger}}$$
o anche più semplicemente come
$$\boxed{\sigma_A \sigma_B \geq \abs{\expval{A^\dagger B}-\expval{B} \expval{A^\dagger}}}$$
Questa relazione non solo è estremamente semplice, ma è anche del tutto generale e valida anche per operatori non-hermitiani. Tuttavia ha anche qualche svantaggio: la relazione di Heisenberg, ad esempio, si presta molto bene ad operatori che hanno un semplice commutatore, nel qual caso il lato destro della disuguaglianza diventa indipendente dallo stato considerato, ed è perciò del tutto generale.
Le disuguaglianze di Heisenberg e Schrodinger si possono ottenere a partire da questa disuguaglianza supponendo che $A$ e $B$ siano hermitiani e scrivendo i termini come commutatore e anticommutatore; poi basta applicare una variante della disuguaglianza triangolare.