Il potenziale delta è un problema classico in meccanica quantistica. L’Hamiltoniana è data da
$$H = -\frac{\hbar^2}{2m} \dv{^2}{x^2} +V_0 \delta(x)$$
Non è difficile ricavare i coefficienti di trasmissione e riflessione,
$$R = \frac{1}{1+\frac{2\hbar^2 E}{m V_0^2}} \quad \quad \quad T = \frac{1}{1+\frac{m V_0^2}{2\hbar^2 E}}$$
Questo risultato, pur semplice, è parecchio interessante. Innanzitutto i coefficienti sono del tutto indipendenti dal segno di $V_0$, e quindi dal fatto se il potenziale rappresenti un muro infinito o una buca infinita. Per cui il comportamento della particella quantistica è lo stesso in entrambi i casi: con una certa probabilità viene riflessa e con una certa probabilità trasmessa. Abbiamo visto in un precedente articolo che la particella classica invece ha un comportamento completamente diverso: se il potenziale è un muro ($V_0 > 0$) allora la particella viene sempre riflessa, mentre se il potenziale è una buca ($V_0 < 0$), allora la particella viene sempre trasmessa e agisce come se il potenziale non esistesse.
Questa differenza tra il caso classico e quantistico diventa ancora più strana se proviamo a prendere il limite classico del risultato quantistico. Ciò si ottiene quando $\hbar \to 0$, e in tal caso abbiamo
$$\lim_{\hbar \to 0} R = 1 \quad \quad \quad \lim_{\hbar \to 0} T = 0$$
Ovvero nel limite classico, la particella quantistica viene sempre riflessa! Questo è effettivamente il comportamento classico nel caso in cui $V_0 > 0$, ma il risultato è valido sia per $V_0 > 0$ che per $V_0 < 0$. In altre parole la particella classica passa indisturbata sopra la buca infinita, mentre la particella quantistica arriva fino alla buca, guarda le profondità infinite, ha le vertigini e decide di tornare indietro.
Il punto di questo paradosso è che bisogna stare attenti a capire cosa significhi il limite classico un po’ come abbiamo visto in questo e questo articolo sulla regolarizzazione. In particolare dire che $\hbar \to 0$ non ha molto senso, perché $\hbar$ è un quantità dimensionale. Piuttosto definiamo la lunghezza d’onda di de Broglie
$$\lambda_{\mathrm{dB}} = \frac{2\pi\hbar}{\sqrt{2mE}}$$
e quindi in questi termini abbiamo
$$R = \frac{1}{1+\pqty{\frac{E \lambda_{\mathrm{dB}}}{\pi V_0}}^2} \quad \quad \quad T = \frac{1}{1+\pqty{\frac{\pi V_0}{E \lambda_{\mathrm{dB}}}}^2}$$
Nel nostro problema la forza $V_0$ del potenziale e l’energia della particella $E$ sono fissate, e quindi il “limite classico” $\hbar \to 0$ vuol dire effettivamente
$$\lambda_{\mathrm{dB}} \ll \frac{V_0}{E}$$
Tuttavia lo stesso potenziale delta non può essere letteralmente realizzato in natura, ma è solo un’approssimazione efficace di un qualche altro potenziale continuo e finito. In particolare il potenziale non sarà veramente concentrato su un punto, ma apparirà tale finché la lunghezza d’onda della particella $\lambda_{\mathrm{dB}}$ sarà grande confrontata con la scala di lunghezza su cui varia il potenziale, cioè $\frac{V_0}{E}$, che è esattamente il limite opposto al “limite classico” che abbiamo considerato. Il paradosso sarà quindi risolto quando il potenziale delta sarà regolarizzato in una maniera che rimanga valida anche per $\lambda_{\mathrm{dB}}$ piccolo, e in tal caso la contraddizione sparirà. Notiamo che anche nel caso classico avevamo dovuto regolarizzare la funzione delta per ottenere dei risultati sensati.
La stessa cosa succede in molte altre situazioni in meccanica quantistica, come ad esempio per il potenziale scalino, come illustrato in D. Branson, Correspondence principle and scattering from potential steps.