Nei precedenti articoli della serie abbiamo visto prima due serie perturbative e poi la soluzione analitica della teoria $\phi^4$ in $0$ dimensioni. Le serie perturbative erano solo serie asintotiche: cioè forniscono una buona approssimazione sommando un numero finito di termini, ma divergono se li sommiamo tutti. In un articolo precedente abbiamo mostrato come la somma di Borel può essere utilizzata per estrarre risultati sensati da serie divergenti. Vediamo come applicare la tecnica a questo caso.
Rimandiamo all’articolo precedente per la tecnica in generale. Proviamo ad applicare la somma di Borel alla serie perturbativa divergente che abbiamo trovato in precedenza. Nel precedente articolo avevamo trovato la serie asintotica
$$Z[g] = \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!}{2^{2n}(2n)!n!}\pqty{-\frac{g}{24}}^n$$
dove abbiamo espanso il fattoriale doppio e posto $\hbar=1$. Il raggio di convergenza della serie è nullo. La trasformata di Borel è data da
$$\mathcal{B}Z[g] = \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!}{2^{2n}(2n)!(n!)^2}\pqty{-\frac{g}{24}}^n$$
La trasformata ha raggio di convergenza finito e converge in $\abs{g} < 3/2$. Wolfram Mathematica ci informa che vale il risultato
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!}{2^{2n}(2n)!(n!)^2}\pqty{-\frac{g}{24}}^n = \frac{2}{\pi} \frac{1}{\pqty{1+2g/3}^{1/4}}K\pqty{\frac{-1+\sqrt{1+2g/3}}{2\sqrt{1+2g/3}}}$$
dove $K$ è un integrale ellittico completo di prima specie, definito dalla serie di potenze data su Wikipedia. Non è difficile mostrare che la serie di potenze per $K(k)$ ha raggio di convergenza $1$ e converge quindi per $\abs{k} < 1$. Nel nostro caso $k$ è una funzione complicata di $g$, ma possiamo verificare che se $g$ è reale, allora la condizione $\abs{k} < 1$ è soddisfatta per ogni $g > -3/2$. In questa maniera, sebbene la serie converga sulla retta reale solo per $-3/2 < g < 3/2$ possiamo estenderla su tutta la retta reale positiva.
Possiamo perciò definire la somma di Borel tramite la formula
$$\mathcal{S}Z[g] = \frac{2}{\pi} \int_{0}^\infty \frac{ e^{-t} }{\pqty{1+2gt/3}^{1/4}}K\pqty{\frac{-1+\sqrt{1+2gt/3}}{2\sqrt{1+2gt/3}}} dt$$
valida per ogni $g$ reale positivo. Sebbene la dimostrazione non sia facile, si può dimostrare che questo integrale è identico alla soluzione esatta che abbiamo trovato nel precedente articolo.