Nei precedenti articoli della serie abbiamo visto due diverse serie perturbative per la teoria $\phi^4$ in $0$ dimensioni. In particolare le due serie erano solo serie asintotice valide per $g$ molto piccolo o molto grande, ma non convergenti in nessun caso. Rimandiamo ai precedenti articoli per la notazione. In questo articolo deriviamo la soluzione esatta di questa teoria.
Partiamo di nuovo dall’integrale sui cammini per la serie, ovvero
$$Z[g] = \int_{\R} \frac{d\phi}{\sqrt{2\pi \hbar}}\, \exp{\bqty{-\frac{1}{\hbar}\pqty{\frac{1}{2} \phi^2 + \frac{g}{4!}\phi^4}}}$$
Questa volta lavoriamo direttamente con l’integrale e lo massaggiamo fino a portarlo ad una formula nota. Verrà fuori che l’integrale è identico ad una certa funzione speciale. Ridefiniamo $\phi \to \sqrt{2\hbar}\phi$ per rimuovere alcuni fattori:
$$Z[g] = 2\int_0^\infty \frac{d\phi}{\sqrt{\pi}}\, \exp{\bqty{-\pqty{\phi^2 + \frac{g\hbar}{6}\phi^4}}}$$
Ora effettuiamo il cambio di variabili $x = \phi^2$ ottenendo
$$Z[g] =\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty dx\, x^{-1/2} \exp{\bqty{-x -\frac{g\hbar}{6} x^2}}$$
Ora effettuiamo un ulteriore sostituzione $x = \sqrt{\frac{3}{g\hbar}} t$ che dà
$$Z[g] =\pqty{\frac{3}{g\hbar \pi^2}}^{1/4}\int_0^\infty dt\, t^{-1/2} \exp{\bqty{-\sqrt{\frac{3}{g\hbar}}t -\frac12 t^2}}$$
Quest’ultimo integrale può essere espresso in termini di una funzione parabolica del cilindro, come evinciamo da questa tavola, ovvero:
$$Z[g] =\pqty{\frac{3}{g\hbar \pi^2}}^{1/4}\sqrt{\pi} e^{\frac{3}{4g\hbar}} U\pqty{0,\sqrt{\frac{3}{g\hbar}}}$$
Sempre secondo le tavole, questo particolare valore della funzione parabolica del cilindro corrisponde ad una funzione di Bessel modificata del secondo tipo:
$$Z[g] =\sqrt{\frac{3}{2\pi g\hbar}} \exp{\pqty{\frac{3}{4g\hbar}}} K_{1/4}\pqty{\frac{3}{4 g\hbar}}$$
Possiamo quindi vedere le serie asintotiche che abbiamo ottenuto come serie asintotiche per questa funzione di Bessel.
È interessante notare che la funzione di Bessel è definita come funzione di $g$ su tutto il piano complesso a meno di un taglio sui numeri reali negativi. Tuttavia l’integrale che definisce originariamente $Z[g]$ è convergente solo se $\Re{g} \geq 0$ e perciò la funzione di Bessel è un prolungamento analitico dell’integrale che definisce $Z[g]$.
Chiaramente è un accidente che $Z[g]$ abbia una formula chiusa che ci permetta di prolungarla analiticamente. Tuttavia il prolungamento analitico può essere effettuato direttamente dalla definizione tramite l’integrale. Poiché l’integranda è analitica dappertutto, possiamo infatti deformare il cammino di integrazione da $\R$ a una qualsiasi retta attraverso l’origine $e^{i\alpha}\R$. In questo caso sia $g$ che $\phi$ sono numeri complessi e abbiamo la convergenza se $\Re{g \phi^4} \geq 0$ all’infinito lungo la retta scelta. Se vogliamo quindi estendere l’integrale a $g$ complesso con $\mathrm{arg}g=\theta$ basta scegliere il cammino con $\alpha = -\theta/4$, in modo tale che la convergenza sia garantita.
Nel prossimo articolo considereremo un’altra tecnica per ottenere risultati sensati da serie divergenti.