In meccanica quantistica è fondamentale l’uso degli spazi di Hilbert e degli operatori sugli spazi di Hilbert. Tuttavia spesso in fisica si utilizzano in maniera intercambiabile termini come hermitiano, simmetrico e autoaggiunto, che invece sono ben distinti a livello matematico. Vediamo qual è la differenza e le sue conseguenze da un punto di vista fisico.
Operatori e domini
Prima di tutto abbiamo la seguente definizione:
Definizione. Un’operatore $A$ su uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ è una mappa $A: D(A) \to \mathcal{H}$ dove $D(A) \in \mathcal{H}$ è un sottoinsieme dello spazio di Hilbert, chiamato il dominio di $A$.
Moralmente, vorremmo che $A$ sia definito su tutto lo spazio di Hilbert, almeno per semplicità. Tuttavia, come vedremo, ciò è in molti casi impossibile. Allora ci limitiamo spesso a richiedere che il dominio sia denso in $\mathcal{H}$, il che dà luogo alla seguente definizione
Definizione. Un’operatore $A$ su uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ è densamente definito se il suo dominio $D(A)$ è denso in $\mathcal{H}$.
Il fatto che $D(A)$ sia denso in $\mathcal{H}$ vuol dire che $\overline{D(A)} = \mathcal{H}$, cioè la chiusura del dominio è uguale all’intero spazio di Hilbert. La chiusura di un insieme è definita come al solito, cioè come l’insieme stesso più tutti i suoi punti limite.
Come vedremo in seguito il dominio di un operatore è fortemente implicato nella distinzione tra simmetrico e autoaggiunto. Torneremo poi alla distinzione, che sembra solo una sottigliezza, tra un operatore densamente definito e un operatore definito su tutto lo spazio di Hilbert.
Operatori hermitiani
Nel caso finito-dimensionale, una matrice $A$ è hermitiana se $A=A^\dagger$ dove l’operazione $\dagger$ è definita in maniera operativa come la trasposizione seguita dalla coniugazione complessa. Poi daremo le definizioni di operatore simmetrico e operatore autoaggiunto, ma possiamo già anticipare che nel caso finito-dimensionale queste tre proprietà sono equivalenti.
Nel caso infinito-dimensionale, purtroppo non esiste nessuna definizione univoca di hermitiano. Alcuni autori usano hermitiano come quello che nel prossimo paragrafo noi chiamiamo “pre-simmetrico” (termine che ho inventato io), mentre altri usano hermitiano in maniera intercambiabile con autoaggiunto, mentre altri ancora con hermitiano intendono autoaggiunto e limitato.
Perciò nel caso infinito dimensionale dobbiamo rinunciare al nome hermitiano, e se vogliamo essere precisi dobbiamo parlare di operatore simmetrico o di operatore autoaggiunto. C’è in realtà un piccolo caveat, nel senso che, come vedremo, per operatori limitati le due nozioni coincidono e allora possiamo anche usare hermitiano.
Operatori simmetrici
Siamo pronti quindi a dare una definizione dei tre termini in maniera matematicamente precisa. Prima di tutto, la definizione più ovvia:
Definizione. Un’operatore $A$ è pre-simmetrico se $(x, Ay) = (Ax, y)$ per ogni $x,y \in D(A)$.
In questa definizione $(\cdot, \cdot)$ è il prodotto interno dello spazio di Hilbert. Poiché applichiamo $A$ sia su $x$ che su $y$ questa definizione può valere solo se $x$ e $y$ appartengono al dominio di $A$. Il termine “pre-simmetrico” non è standard, per cui non usatelo in giro, ma non esiste un termine standard per parlare di questa proprietà. Il punto è che di operatori definiti su un sottoinsieme non ce ne facciamo nulla, ma ci interessano solo quegli operatori definiti almeno su quasi tutto lo spazio di Hilbert, cioè quelli densamente definiti. In altre parole se $A$ è definito solo su $D(A)$ possiamo prendere come spazio di Hilbert direttamente $\overline{D(A)}$ invece che $\mathcal{H}$ e con questa restrizione $A$ è densamente definito, cosa che semplifica diversi teoremi. Ciò motiva la seguente definizione:
Definizione. Un’operatore $A$ è simmetrico se è densamente definito e $(x, Ay) = (Ax, y)$ per ogni $x,y \in D(A)$.
In aggiunta a pre-simmetrico, un operatore simmetrico è anche densamente definito, e questa è la nozione intuitiva di “operatore hermitiano”, se vogliamo: cioè, quantomeno nel suo dominio di definizione, possiamo “portarlo dall’altra parte” nel prodotto interno.
Il problema con questa definizione è che non è quella che vogliamo. In meccanica quantistica, a noi interessano certi operatori che hanno delle proprietà particolari: ovvero le loro autofunzioni devono costituire una base completa dello spazio di Hilbert, e devono corrispondere ad autovalori reali. Queste proprietà sono garantite dal teorema spettrale, che conosciamo tutti nel caso finito-dimensionale: una matrice hermitiana ha una base completa di autovettori con autovalori reali. Tuttavia, come vedremo, nel caso infinito dimensionale un generico operatore simmetrico non soddisfa il teorema spettrale, per cui è necessaria la condizione più forte di autoaggiunto.
Operatori autoaggiunti
Per definire la nozione di operatore autoaggiunto, ci serve definire la nozione di operatore aggiunto. Abbiamo:
Definizione. Se $A$ è un operatore densamente definito, allora l’operatore aggiunto $A^*$ di $A$ è definito come la mappa $x \to A^* x$ tale che $(x, Ay)=(A^*x, y)$ per ogni $y \in D(A)$. L’insieme degli $x$ per cui la formula sopra è vera per ogni $y \in D(A)$ è il dominio $D(A^*)$ di $A^*$.
La definizione è in pratica quella solita, ma dobbiamo stare particolarmente attenti alla questione dei domini. Infatti in questo caso $A$ agisce solo su $y$ mentre $A^*$ agisce solo su $x$, e quindi non c’è nessun requisito che $x$ e $y$ appartengano ad uno spazio comune. Perciò notiamo quanto segue:
- In linea di principio $D(A^*) \neq D(A)$.
- Anche se $A$ è densamente definito, non è detto che $A^*$ sia densamente definito.
- La definizione di operatore aggiunto richiede che $A$ sia densamente definito. Ciò è necessario perché $A^*$ sia definito unicamente, altrimenti potrebbero esistere più operatori che soddisfano la proprietà sopra.
- Se $A$ è un operatore simmetrico, allora $D(A) \subseteq D(A^*)$. Ciò perché sappiamo che $(x,Ay)=(Ax,y)$ vale per ogni $x,y \in D(A)$ per cui possiamo porre $A^* x = Ax$ per ogni $x \in D(A)$ e quindi $A^*$ è definito su tutto $D(A)$. Tuttavia potrebbe anche essere possibile definire $A^*$ su $x \notin D(A)$, dove per forza $A^* x \neq Ax$ perché $A$ non è definito su $x$ e quindi $Ax$ non ha senso.
Siamo quindi in grado di dare una definizione di operatore aggiunto. In termini pratici, questo è un operatore simmetrico in cui $A^*$ non può essere esteso oltre $D(A)$ come invece spiegavamo potesse accadere nell’ultimo punto della lista precedente. Abbiamo quindi
Definizione. Un operatore $A$ densamente definito è autoaggiunto se $A^*=A$, ovvero se $D(A^*)=D(A)$ e inoltre $A^*x = Ax$ per ogni $x \in D(A)=D(A^*)$.
In altre parole, $A$ è davvero identico al suo aggiunto $A^*$, mentre ciò non può essere garantito semplicemente dall’essere simmetrico.
Per gli operatori autoaggiunti, ma non per gli operatori simmetrici, vale il teorema spettrale: gli autovettori di $A$ autoaggiunto formano una base completa dello spazio di Hilbert e i suoi autovalori sono reali. Tuttavia perché ciò sia strettamente vero, dobbiamo includere tra gli autovettori ammessi anche le distribuzioni come la funzione delta.
Un caso particolare
È possibile dimostrare che $A$ è simmetrico e limitato, allora è automaticamente autoaggiunto. Ciò include anche il caso finito-dimensionale. Perciò per operatori limitati, non c’è distinzione tra le due nozioni. Tuttavia in meccanica quantistica gli operatori sono genericamente illimitati, e perciò la distinzione torna utile. Infatti sia $\hat{x}$ che $\hat{p}$ sono illimitati, perché altrimenti non potrebbero soddisfare $[\hat{x}, \hat{p}] = i$.
Questo spiega anche perché dobbiamo considerare operatori densamente definiti e non semplicemente degli operatori definiti su tutto lo spazio di Hilbert. Infatti il cosiddetto teorema di Hellinger-Toeplitz afferma che un operatore simmetrico il cui dominio è l’intero spazio di Hilbert è anche autoaggiunto e limitato. Poiché ci interessano operatori illimitati, questi possono essere al più densamente definiti.
Poiché questo articolo è già troppo lungo, vediamo separatamente un esempio pratico tratto dalla meccanica quantistica. Vedremo inoltre che tavolta anche degli operatori solamente simmetrici possono essere estesi ad operatori autoaggiunti.