Una serie è una somma infinita della forma $\sum_{n=0}^\infty a_n$. Perché la serie sia convergente, è necessario (ma non sufficiente) che $\lim_{n\to \infty} a_n = 0$, cosìcché man mano che aggiungiamo, i termini residui saranno sempre meno importanti. Tuttavia se vogliamo calcolare il valore di una serie da un punto di vista pratico, la convergenza può essere estremamente lenta, cioè dobbiamo aggiungere un enorme numero di termini prima di ottenere il valore della serie con una precisione desiderata. Ciò avviene spesso ad esempio con le serie alternanti, di cui abbiamo visto un esempio in passato.
L’accelerazione di una serie consiste nel rimpiazzare la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ con un’altra serie $\sum_{n=0}^\infty b_n$ con lo stesso valore
$$\sum_{n=0}^\infty a_n = A = \sum_{n=0}^\infty b_n$$
ma convergenza più rapida. Il fatto che la convergenza della serie degli $b_n$ sia più rapida può essere espresso matematicamente richiedendo che
$$\lim_{N \to \infty} \frac{\sum_{n=0}^N b_n -A}{\sum_{n=0}^N a_n -A} = 0$$
Ovvero possiamo immaginare che la somma parziale $\sum_{n=0}^N a_n$ sia uguale al limite all’infinito $A$ più alcuni termini “di taglia finita” che vanno a zero per $N \to \infty$. Quello che stiamo dicendo è che questi termini vanno a zero più rapidamente per la serie accelerata dei $b_n$ rispetto alla serie originale degli $a_n$.
Un esempio pratico
Ora consideriamo un esempio pratico. Sappiamo che la serie di Taylor del logaritmo è data da
$$\log{\pqty{1+x}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$$
Questa serie ha una convergenza molto lenta perché per $x$ positivo è alternante e inoltre decresce in maniera relativamente lenta. Inoltre, dal criterio del rapporto, il suo raggio di convergenza è pari ad $1$, cioè la serie converge solo per $\abs{x} < 1$. Ora effettuiamo una sostituzione $x \to y$ tale che
$$\log{\pqty{1+x}} =\log{\pqty{\frac{1+y}{1-y}}}$$
In altre parole possiamo scegliere $y = x/(x+2)$, per cui $x = 2y/(1-y)$. Ora possiamo calcolare la serie del logaritmo come funzione di $y$ in maniera molto semplice, separando il logaritmo del rapporto nella differenza tra due logaritmi e usando la serie di Taylor in entrambi i casi. Otteniamo quindi:
$$\log{\pqty{1+x}} =\log{\pqty{\frac{1+y}{1-y}}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} y^{2n+1}$$
Questa serie converge di nuovo per $\abs{y} < 1$, ma poiché possiamo esprimere $y$ in termini di $x$, la convergenza è per tutto il sottoinsieme di $\C$ dato da $\Re x > -1$. Inoltre la convergenza per $x$ positivo è molto più rapida di prima, perché se $x$ positivo anche $y$ è positivo e quindi la serie non è più alternante.
La serie originale del logaritmo converge per $x=1$ ma diverge per $x=-1$. Perciò ponendo $x=1$ nella serie originale otteniamo
$$\log{2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$$
Possiamo calcolare esplicitamente $\log{2} \approx 0,69315\ldots$ mentre sommando i primi sei termini della serie mostrati sopra otteniamo $37/60 \approx 0,61666\ldots$. L’approssimazione perciò è decente ma non fantastica, e la precisione dell’approssimazione cresce molto lentamente. Vediamo cosa succede se invece utilizziamo la seconda serie che abbiamo ottenuto. Per $x=1$ abbiamo $y=1/3$, per cui
$$\log{2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} \pqty{\frac{1}{3}}^{2n+1} = \frac{2}{3} +\frac{2}{3\cdot 27}+\frac{2}{5 \cdot 243}+\cdots$$
Anche solo sommando i tre termini sopra otteniamo $842/1215 \approx 0,69300\ldots$, che è già un’approssimazione molto migliore di quella ottenuta con sei termini della serie originale. Utilizzando sei termini il risultato della serie accelerata, a questo livello di precisione, è indistinguibile da quello esatto.
L’idea in generale: mappe conformi
L’idea generale di questo tipo di trasformazione è la seguente. Supponiamo di avere una serie di potenze nel campo complesso
$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$$
È noto che una serie di potenze ha un raggio di convergenza, ovvero esiste un $R$ tale che la serie converge per $\abs{z} < R$ e diverge per $\abs{z} > R$. Sul cerchio di convergenza $\abs{z} = R$ la serie può convergere in alcuni punti e divergere in altri, e in genere la convergenza non è assoluta ma solo condizionale.
Tuttavia il raggio di convergenza ha un effetto anche sulla rapidità della convergenza. Infatti più siamo vicini al cerchio di convergenza $\abs{z} = R$ più lenta sarà la convergenza della serie. L’idea è perciò quella di applicare una trasformazione $z = \Phi(w)$ in modo tale da ottenere una nuova funzione $g(w) = f(\Phi(w))$ tale che il punto $z$ che ci interessa, vicino al cerchio di convergenza della serie originale, si trovi invece molto dentro al raggio di convergenza della nuova serie. Questo è esattamente ciò che accade nell’esempio che abbiamo visto. Nella serie originale per il logaritmo $x=1$ è esattamente sul cerchio di convergenza, e quindi, come in realtà avviene, possiamo aspettarci che la convergenza sia lenta. Abbiamo quindi mappato $x\to y$ in modo tale che la nuova funzione $f(x(y))$ abbia di nuovo raggio di convergenza $1$ in $y$, ma il punto $x=1$ che ci interessa è mappato a $y=1/3$, che è ben lontano dal bordo del disco di convergenza della serie, e quindi possiamo aspettarci che converga più rapidamente.
Quali requisiti dobbiamo porre su $\Phi$? Per semplicità, poiché ci interessa spostare il raggio di convergenza della serie ma non il suo centro, poniamo $\Phi(0)=0$. Dobbiamo inoltre stare attenti a non introdurre delle ulteriori singolarità tramite $\Phi$, perché sappiamo che le singolarità sono collegate al raggio di convergenza. Nell’esempio sopra $y(x) = x/(x+2)$ ha una singolarità in $x=2$ per cui non possiamo aspettarci che la serie risultante converga in questo punto. Molto spesso si richiede, anche se strettamente non è necessario, che $\Phi'(0)\neq 0$. In questa maniera i primi $N$ termini (inclusi quelli nulli) della nuova serie sono ottenuti dai primi $N$ termini della serie originale, e ciò aiuta a tenere sotto controllo la nuova serie. Come abbiamo visto una mappa con questa proprietà è chiamata mappa conforme.