Nel precedente articolo della serie abbiamo visto una serie perturbativa per la teoria $\phi^4$ in $0$ dimensioni. In particolare abbiamo trovato una serie asintotica valida per $g$ piccolo. Rimandiamo al precedente articolo per la notazione. In questo articolo deriviamo un’altra espansione in serie, stavolta per $g$ grande, cioè per “interazioni forti” e ne studiamo le proprietà.
Partiamo di nuovo dall’integrale sui cammini per la serie, ovvero
$$Z[g] = \int_{\R} \frac{d\phi}{\sqrt{2\pi \hbar}}\, \exp{\bqty{-\frac{1}{\hbar}\pqty{\frac{1}{2} \phi^2 + \frac{g}{4!}\phi^4}}}$$
Questa volta invece di espandere il secondo termine in serie di potenze e integrare, facciamo il contrario: cioè espandiamo il primo. Scambiando illegalmente somma e integrale otteniamo
$$Z[g] = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n! 2^n} \int_{\R} \frac{d\phi}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{g \hbar}{4!}\phi^4} \phi^{2n}$$
dove per semplicità abbiamo anche ridefinito $\phi \to \sqrt{\hbar} \phi$. Dobbiamo perciò calcolare in generale tutti gli integrali della forma
$$\int_{\R} dx \, e^{-a x^4} x^{2n}$$
A tal scopo partiamo dalla definizione della funzione Gamma e applichiamo la sostituzione $t=x^4$:
$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt = 4 \int_0^\infty x^{4z-1} e^{-x^4} dx$$
Ponendo quindi $4z-1=2n$ otteniamo
$$4 \int_0^\infty x^{2n} e^{-x^4} dx = \Gamma{\pqty{\frac{2n+1}{4}}}$$
E quindi infine
$$ \int_{-\infty}^\infty x^{2n} e^{-a x^4} dx = \frac{1}{2 a^{(2n+1)/4}}\Gamma{\pqty{\frac{2n+1}{4}}}$$
Purtroppo non esiste nessuna semplice formula chiusa per questi valori della funzione gamma. Sostituendo nella serie otteniamo
$$Z[g] =\pqty{\frac{3}{8 \pi^2 g\hbar }}^{1/4} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\Gamma{\pqty{\frac{2n+1}{4}}} \pqty{-\sqrt{\frac{6}{ g\hbar}}}^n$$
Abbiamo quindi ottenuto un’altra serie, anche questa con raggio di convergenza nulla, che è asintotica a $Z[g]$. In questo caso l’approssimazione è buona se $g\hbar$ è grande, e perciò è una formula valida per interazioni forti. In quanto serie asintotica, come nel caso precedente, l’approssimazione fornita dalla serie è ottimale ad un certo numero finito di termini, ma sommandoli tutti la serie diverge.
Nel prossimo articolo della serie otterremo una formula analitica per l’integrale sui cammini.