Come abbiamo visto, in generale in teoria quantistica dei campi le serie perturbative sono solo serie asintotiche: cioè forniscono una buona approssimazione sommando un numero finito di termini, ma divergono se li sommiamo tutti. In questo articolo parliamo della somma di Borel, una tecnica per estrarre risultati sensati da serie divergenti.
La somma di Borel
Partiamo da una serie formale $A(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$. La serie è solo formale perché potrebbe anche divergere dappertutto. Vogliamo comunque provare ad assegnare un valore alla serie anche se diverge. A tal scopo cominciamo definendo la corrispondente trasformata di Borel $\mathcal{B}A(z)$:
$$\mathcal{B}A(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!} z^n$$
In altre parole dividiamo ogni termine per il fattoriale corrispondente. È chiaro che la trasformata di Borel migliori la convergenza della serie, e può essere convergente anche laddove la serie originale diverge. Tuttavia non è chiaro quale sia la relazione tra la trasformata e la serie originale. Supponendo che $\mathcal{B}A(z)$ si comporti decentemente possiamo quindi definire la somma di Borel $\mathcal{S}A(z)$:
$$\mathcal{S}A(z) = \int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz)dt$$
Se l’integrale converge, allora $\mathcal{S}A(z)$ è un possibile modo di dare un valore alla serie $A(z)$. In particolare se $A(z)$ è convergente, allora la $\mathcal{S}A(z)=A(z)$. Abbiamo infatti
\begin{align*}
\mathcal{S}A(z) &= \int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz)dt = \\
&=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!} z^n \int_0^\infty e^{-t} t^n dt =\\
&=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n = A(z)\\
\end{align*}
dove abbiamo usato la definizione integrale della funzione gamma. Se invece la serie iniziale $A(z)$ è divergente, abbiamo buoni motivi di sperare che la sua trasformata di Borel $\mathcal{B}A(z)$ converga e che quindi possiamo definire $A(z)$ laddove diverge tramite la sua somma di Borel $\mathcal{S}A(z)$. Questo metodo qualche volta funziona e qualche volta no, ma è utile ad esempio in teoria quantistica dei campi perché si ritiene che le serie asintotiche in questo caso crescano al massimo con $n!$, che viene cancellato dalla trasformata di Borel.
Va enfatizzato che cercare di dare un significato a serie divergenti è un’operazione senza senso. Perciò sebbene in molti casi la somma di Borel permetta di assegnare un significato a serie divergenti, questo è solo uno dei molti modi di definire somme di serie divergenti, come ad esempio la somma di Eulero, la somma di Cesàro, ecc. Come vedremo nel prossimo paragrafo, questo metodo è particolarmente semplice da un punto di vista concettuale perché consiste in nient’altro se non “scambiare integrali e serie” illegalmente per ottenere un risultato finito.
Esempi di somma di Borel
Ora vediamo alcuni esempi pratici di somma di Borel. Se una certa serie ha raggio di convergenza non-nullo, allora non c’è bisogno della somma di Borel: la serie convergerà dentro il raggio di convergenza e potrà o meno essere estesa per prolungamento analitico; non c’è nient’altro da fare. Perciò consideriamo una serie con raggio di convergenza nullo, ad esempio il fattoriale alternante $A(z) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n n! z^n$, il cui raggio di convergenza è nullo. La trasformata di Borel è
$$\mathcal{B}A(z) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n = \frac{1}{1+z}$$
La trasformata di Borel è convergente per $\abs{z} < 1$, ma il risultato finale è definito dappertutto tranne per un polo semplice in $z=-1$. In altre parole la trasformata di Borel, sebbene definibile tramite la serie soltanto per $\abs{z} < 1$ può essere prolungata analiticamente su tutto il piano complesso meno $z=-1$. A questo punto la somma di Borel è data da:
$$\mathcal{S}A(z) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1+tz} dt$$
Quest’integrale può essere espresso in termini della funzione integrale esponenziale, ma è ben definito per ogni $z$ reale e positivo. Se invece $z < 0$ abbiamo un polo nel dominio di integrazione; quindi $\mathcal{S}A(z)$ avrà un taglio sulla retta reale negativa. Ciò mostra anche che la somma di Borel funziona bene in particolare per serie alternanti: quando $z$ è positivo la serie originale è alternante e la somma di Borel è ben definita, mentre per $z$ negativo la serie ha sempre lo stesso segno e abbiamo un problema nella somma di Borel.
Questo esempio mostra anche la somma di Borel altro non è se non l’applicazione illegale del metodo preferito dai fisici di scambiare integrali e sommatorie: infatti scrivendo il fattoriale come integrale tramite la definizione della funzione Gamma e scambiando integrazione e sommatoria, avremmo ottenuto lo stesso risultato. La somma di Borel ci dà una ricetta per generalizzare questo metodo.