In un precedente articolo abbiamo visto la definizione di supersimmetria in meccanica quantistica e alcune conseguenze di base. In questo articolo vediamo come usare la supersimmetria per la soluzione esatta di sistemi quantomeccanici.
Idea generale
La meccanica quantistica supersimmetrica può essere usata per risolvere esattamente alcune Hamiltoniane difficili. L’idea è la seguente: partiamo da un’Hamiltoniana $H_1$ di cui conosciamo la soluzione esatta; poi fattorizziamo $H_1 = A^\dagger A$ e quindi calcoliamo l’Hamiltoniana partner $H_2 = A A^\dagger$. In linea di principio $H_2$ potrebbe essere ben più complicata di $H_1$, ma sappiamo che hanno lo stesso spettro.
Consideriamo ad esempio in genere
$$H_1 = -\dv{^2}{x^2} + V_1(x)$$
Per fattorizzare $H_1 = A^\dagger A$ supponiamo che $A = -\dv{}{x} + f(x)$ e perciò otteniamo
$$H_1 =A^\dagger A = \pqty{\dv{}{x} + f(x)}\pqty{-\dv{}{x} + f(x)}=-\dv{^2}{x^2}+f'(x)+f(x)^2\\
H_2 = A A^\dagger = -\dv{^2}{x^2}-f'(x)+f(x)^2$$
Perciò $V_1(x)=f'(x)+f(x)^2$ e $V_2(x)=-f'(x)+f(x)^2$. In linea di principio partendo da $V_1(x)$ dovremmo risolvere quest’equazione differenziale per trovare $f(x)$, per cui non abbiamo migliorato di molto la situazione. L’equazione per $f$ è un’equazione di Riccati che può essere risolta qualche volta ma non sempre.
In alcuni casi possiamo utilizzare un trucco. Supponiamo di aver trovato un autovalore nullo $\psi_0$ di $H_1$, cioè $H_1\psi_0=0$. Per definizione abbiamo quindi
$$\pqty{-\dv{^2}{x^2} + V_1(x)}\psi_0(x)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\, V_1(x) = \frac{\psi_0^{\prime\prime}(x)}{\psi_0(x)}$$
Ora scegliamo la funzione $f(x)$ in modo tale che soddisfi $A \psi_0=0$, condizione coerente col fatto che $\psi_0$ è un autostato nullo di $H_1=A^\dagger A$. Risolvendo per $f(x)$, ciò implica scegliere $f(x) =\frac{\psi’_0}{\psi_0}$. Possiamo poi verificare tranquillamente che $f'(x)+f(x)^2=\frac{\psi^{\prime\prime}_0}{\psi_0}=V_1(x)$ e quindi questa procedura produce correttamente una $f(x)$ che soddisfa le condizioni che cerchiamo. Questa procedura funziona a patto che esista un autovalore nullo e che siamo in grado di trovarlo.
Un esempio pratico
Ora consideriamo un esempio pratico. Sia $H_1$ l’Hamiltoniana di una buca di potenziale infinita. Il potenziale $V_1(x)$ cioè è nullo diciamo tra $0 < x < 1$ e infinito altrimenti. La soluzione di questo problema è un esercizio semplice e otteniamo le autofunzioni $\psi_n(x) = \sqrt{2} \sin{\pqty{n\pi x}}$ con energie $E_n = \pi^2 n^2$. Questo sistema non ha nessun autovalore nullo perché per $n=0$ abbiamo $\psi_0(x) \equiv 0$ che non può essere un autostato. Poiché vogliamo un autovalore nullo, basta sottrarre una costante dall’Hamiltoniana, per cui ridefiniamo
$$V_1(x) = \begin{cases}-\pi^2 & 0 < x < 1\\ \infty & \mathrm{altrimenti}\end{cases}$$
Perciò ora $H_1 = -\dv{^2}{x^2}+V_1(x)$ ha sempre autostati $\psi_n(x) = \sqrt{2} \sin{\pqty{n\pi x}}$ ma autoenergie $E_n = \pi^2 \pqty{n^2-1}$. Lo stato fondamentale $\psi_1$ ha energia nulla, per cui
$$f(x) = \frac{\psi’_1}{\psi_1} = \frac{\pi}{\tan{\pqty{\pi x}}}$$
Utilizzando $f(x)$ calcoliamo $V_1(x)=-\pi^2$, che è il risultato corretto dato che la formula per le nostre autofunzioni è valida solo in $0<x<1$, mentre le autofunzioni sono nulle fuori da questo intervallo. Abbiamo inoltre
$$V_2(x) =-f'(x)+f(x)^2=\frac{2\pi^2}{\sin^2{\pqty{\pi x}}}-\pi^2$$
Notiamo che il potenziale $V_2$ è infinito nei punti $x=0, 1$ e perciò intendiamo con maggior precisione che è infinito al di fuori di questo intervallo, come $V_1(x)$. Poiché conosciamo i livelli energetici di $H_1$ conosciamo anche quelli di $H_2(x)$, tranne al più i livelli energetici nulli. Applicando $A$ agli autostati di $H_1$ otteniamo quelli di $H_2$. Inoltre anche la probabilità di riflessione e trasmissione in un problema di sparpagliamento saranno le stesse.
Autovalori nulli
L’unico problema che rimane da risolvere è quello degli autovalori nulli. La supersimmetria infatti ci dice che $H_1$ e $H_2$ hanno lo stesso spettro non-nullo, ma non ci dice nulla riguardo allo spettro nullo. In particolare se $\psi$ è un autovettore di $H_1 = A^\dagger A$ con energia $E$ allora applicando $A$ abbiamo:
$$A^\dagger A \psi = E \psi\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\leftarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \pqty{A A^\dagger } A \psi = E A \psi$$
il che vuol dire che, se $A\psi$ è non-nullo, allora è un autovettore di $H_2$ con la stessa energia. Se $A\psi=0$ allora anche $E=0$ e quindi questo caso può accadere solo per gli autostati nulli. La condizione $A\psi=0$ è infatti proprio quella che abbiamo utilizzato per definire $A$.
In particolare notiamo che tale condizione vale anche al contrario. Ovvero $A A^\dagger \psi =0$ se e solo se $A^\dagger \psi=0$ e lo stesso per l’altra Hamiltoniana. Infatti se $A A^\dagger \psi = 0$ allora $\psi^\dagger A A^\dagger \psi=0$, cioè $\norm{A^\dagger \psi}=0$ e quindi $A^\dagger\psi=0$.
Ora dimostriamo che se $A\psi=0$ allora non è possibile soddisfare $A^\dagger \psi=0$. Ciò implica che se $H_1$ ha un autostato nullo, allora non è possibile che $H_2$ abbia un autostato nullo. Consideriamo insieme le due equazioni differenziali $A\psi=0$ e $A^\dagger \psi=0$, cioè
$$\mp \psi'(x) + f(x)\psi(x)=0$$
La soluzione esatta non è difficile da calcolare,
$$\psi_{\pm}(x) = C_{\pm} \exp{\pqty{\mp \int^x f(y)dy}}$$
Perciò $\psi_+(x)\psi_-(x)=C_+C_-$ è una costante. Tipicamente una soluzione per essere normalizzabile tende a zero all’infinito, quantomeno se certe condizioni sono soddisfatte; perciò se una tra $\psi_{\pm}$ è una soluzione, cioè se è un autostato con autovalore nullo, allora l’altra tenderà all’infinito per $x \to \pm \infty$ e quindi non sarà normalizzabile.
Alcune ulteriori considerazioni
La condizione $A\psi=0$ che abbiamo richiesto per risolvere il sistema nei paragrafi precedenti ha significato fisico. In particolare, come in genere ogni simmetria, la supersimmetria è preservata solo se
$$Q \ket{0} = Q^\dagger \ket{0} = 0$$
dove $Q$ e $Q^\dagger$ sono i generatori di supersimmetria definiti nell’altro articolo e $\ket{0}$ è lo stato fondamentale del sistema. Se questa condizione non è soddisfata si dice che la supersimmetria è rotta spontaneamente. La condizione $A\psi=0$ significa che questo metodo di soluzione funziona purché la supersimmetria non è rotta spontaneamente.
L’ultima considerazione che facciamo è la seguente. Una classe speciale di potenziali è quella per cui $V_1$ e $V_2$ ottenuti col metodo sopra sono lo stesso potenziale a meno di una costante additiva e di una ridefinizione di costante, cioè $V_1(x, \lambda_1)=V_2(x,\lambda_2)+C$. In tal caso le due Hamiltoniane sono le stesse da entrambi i lati e una volta trovato lo stato fondamentale di una risolvendo $A\psi=0$, tutti gli altri stati possono essere trovati applicando $A^\dagger$ allo stato fondamentale. Questi potenziali sono detti invarianti di forma e possono essere perciò risolti esattamente; sono invarianti di forma ad esempio il potenziale di Coulomb e l’oscillatore armonico quantistico.
Nel prossimo articolo vediamo come la meccanica quantistica supersimmetrica può essere applicata alla costruzione di certi tipi di laser.