Consideriamo la serie di Fourier di una funzione periodica $f(x)$ definita su $[0, 2\pi)$. Sappiamo tutti che poiché $f$ è periodica, allora la sua serie di Fourier sarà
$$f(x) \overset{?}{=} \sum_{n \in \Z} f_n e^{inx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f_n = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{-inx} f(x)\,dx$$
dove gli $f_n$ sono detti coefficienti di Fourier. Abbiamo messo un punto interrogativo perché nonostante queste formule valgano a livello formale, non abbiamo dimostrato né che la serie di Fourier esista (cioè che gli integrali che definiscono gli $f_n$ siano finiti) né che la serie di Fourier converga effettivamente alla funzione $f(x)$.
Può succedere infatti sia che la serie di Fourier non esista affatto, perché ad esempio alcuni o tutti gli $f_n$ divergono; sia che sebbene la serie esista, cioè tutti gli $f_n$ siano finiti, nonostante ciò in tutti o in alcuni punti il valore della serie non coincida con il valore della funzione originale. Può succedere infatti sia che la serie converga ad un valore finito ma diverso da quello della funzione, sia che la serie diverga in uno o più punti. Nelle prossime sezioni vediamo quali sono le condizioni perché la serie esista e converga alla funzione originale.
Esistenza della serie di Fourier
Perché la serie di Fourier esista l’unica cosa necessaria è che esistano i coefficienti di Fourier $f_n$, e questi esistono se esistono gli integrali che li definiscono.
Un criterio sufficiente perché tutti gli integrali esistano è che $f$ sia integrabile secondo Lebesgue. Infatti se $g$ è una funzione complessa, l’integrabilità secondo Lebesgue è equivalente all’integrabilità assoluta secondo Lebesgue. Perciò $g$ è integrabile se e solo se $\abs{g}$ è integrabile, e perciò se $f(x)$ è integrabile allora anche $e^{inx}f(x)$ è integrabile e quindi tutti gli integrali che definiscono i coefficienti di Fourier sono definiti. In altre parole una condizione sufficiente perché la serie di Fourier esista è che $f(x)$ sia integrabile secondo Lebesgue, ovvero $f \in L^1([0, 2\pi])$.
La condizione è anche necessaria: infatti se la serie di Fourier esiste, allora in particolare esiste il coefficiente di Fourier $f_0$, ma ciò vuol dire che $f$ è integrabile.
Convergenza della serie di Fourier
Nonostante la serie di Fourier esista per ogni funzione in $L^1$, non è detto né che converga, né che converga al valore della funzione in quel punto. In particolare, Kolmogorov famosamente costruì un esempio di una funzione in $L^1$ (i cui coefficienti di Fourier sono quindi tutti esistenti) la cui serie di Fourier diverge dappertutto.
Un primo risultato di convergenza puntuale può essere ottenuto ponendo delle condizioni relativamente forti su $f$. Infatti se $f$ è derivabile in un punto, allora la serie di Fourier convergerà ad $f$ in quel punto. La derivabilità è in realtà una condizione abbastanza forte, che può essere molto indebolita. Le condizioni di Dirichlet sono delle condizioni sufficienti per la convergenza della serie di Fourier in un certo punto, più deboli della derivabilità: ad esempio in un punto di discontinuità abbiamo la famosa regola della media dei limiti nei due lati del punto.
Sia la derivabilità sia le condizioni di Dirichlet sono condizioni che hanno a che fare con la continuità/derivabilità della funzione. Tuttavia i coefficienti di Fourier possono essere calcolati per funzioni a malapena integrabili, e infatti esiste un criterio puramente integrale per la convergenza:
Teorema (Carleson). Sia $f(x) \in L^p$ per $1 < p \leq \infty$ i cui coefficienti di Fourier $f_n$ esistono. Allora la serie di Fourier per $f$ convergerà puntualmente ad $f$ quasi dappertutto.
In altre parole se $f$ è in $L^1$ allora i coefficienti di Fourier esistono; mentre se $f$ è in $L^p$ per $p > 1$ allora la serie di Fourier converge. A causa del controesempio di Kolmogorov è chiaro che $L^1$ non è sufficiente per la convergenza, ma il teorema di Carleson ci assicura ad esempio che $L^1$ e $L^2$ insieme sono sufficienti per l’esistenza e per la convergenza. Chiaramente una funzione $L^p$ può avere un certo numero di punti di discontinuità, per cui non possiamo sperare in qualcosa di meglio che la convergenza quasi dappertutto. La dimostrazione del teorema è notoriamente molto difficile. Trovate qui una versione semplificata, ma ancora molto difficile, della dimostrazione.
Finora abbiamo parlato esclusivamente della convergenza puntuale, ma questa, sebbene sia forse la nozione più ovvia di convergenza, certamente non è l’unica. Possiamo infatti parlare di convergenza nella norma $L^p$ o di convergenza uniforme, che tuttavia non trattiamo in questo articolo.
Per maggiori dettagli su tutta questa storia, consiglio questo articolo di Terence Tao.