La trasformazione di Hubbard-Stratonovich si basa sull’osservazione che per ogni $a > 0$,
$$\exp{\pqty{-\frac{a}{2}x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\pqty{-\frac{y^2}{2a}-ixy}}\,dy$$
La dimostrazione di questa uguaglianza non è difficile. Cominciamo dal membro a destra e completiamo il quadrato. Possiamo poi effettuare un cambio di variabile ottenendo un integrale gaussiano di cui conosciamo il valore.
Questa trasformazione sembra del tutto banale, ma torna invece spesso utile quando si calcolano funzioni di partizione e integrali sui cammini. In questi casi il termine costante davanti all’integrale può essere di solito ignorato.
Ad esempio, in alcune formulazioni di elettrodinamica quantistica si “fissa il calibro” introducendo nella Lagrangiana un termine $\frac{1}{2\xi}\pqty{\partial_\mu A^\mu}^2$, che tramite la trasformazione di Hubbard-Stratonovich si può scrivere come
$$\exp{\pqty{\frac{1}{2\xi}\pqty{\partial_\mu A^\mu}^2}} = \int DB\, \exp{\pqty{-\frac{\xi}{2} B^2 +B \partial_\mu A^\mu}}$$
dove in questo caso $B$ è un campo scalare e abbiamo ignorato le costanti davanti. Questa formula si può dimostrare discretizzando l’integrale sui cammini e applicando la trasformazione di Hubbard-Stratonovich ad ognuno degli integrali risultanti.
Alla stessa maniera possiamo trasformare oggetti diversi, ad esempio un termine di massa, ottenendo
$$\exp{\pqty{\frac{1}{2}m^2 A_\mu A^\mu}} = \int DB\, \exp{\pqty{-\frac{1}{2 m^2} B_\mu B^\mu + B_\mu A^\mu}}$$
dove questa volta invece $B$ è un campo vettoriale.
In maniera simile la trasformazione può essere formulata per diversi tipi di integrali sui cammini. L’utilità della trasformazione dipende dalla formulazione: qualche volta è possibile integrare via il campo originale (“$A$”) ottenendo una teoria diversa per il nuovo campo (“$B$”), come ad esempio in molte trasformazioni di dualità; altre volte invece la trasformazione risulta utile per evidenziare certe proprietà di un termine introdotto nella Lagrangiana.