Abbiamo visto il teorema di ricostruzione GNS e la sua dimostrazione. In quest’articolo vediamo la definizione di stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi algebrica, e la sua connessione con il teorema GNS.
Una teoria quantistica dei campi in questo contesto è necessariamente relativistica, e perciò dev’essere invariante rispetto alle trasformazioni del componente connesso all’identità del gruppo di Poincaré, cioè $\mathrm{ISO}(3,1)^+$. Poiché stiamo utilizzando un approccio algebrico, dobbiamo tradurre questo requisito in termini della nostra algebra di osservabili $\mathcal{A}$. Diremo perciò che per ogni $\rho \in \mathrm{ISO}(3,1)^+$ esiste un automorfismo $\alpha(\rho): \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ tale che $\alpha(1)=1$ e $\alpha(\rho)\alpha(\sigma) = \alpha(\rho\sigma)$.
Tramite il teorema di GNS, dato uno stato algebrico $\omega$ possiamo ricostruire uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ e una rappresentazione dell’algebra $\pi(A)$. Una questione importante è capire se il gruppo di Poincaré può essere implementato unitariamente. Ovvero, se per ogni $\rho \in \mathrm{ISO}(3,1)^+$ esistano degli operatori unitari $U(\rho)$ tali che
$$\pi(\alpha(\rho)A) = U(\rho) \pi(A) U(\rho)^{-1}$$
In tal caso si dice che la rappresentazione $\pi$ è covariante. In termini del teorema GNS, possiamo dimostrare che il gruppo di Lorentz è implementato unitariamente se lo stato algebrico è invariante di Lorentz, ovvero soddisfa $\omega(\alpha(\rho)A)=\omega(A)$.
Definizione. (stato invariante) Uno stato algebrico è invariante rispetto ad un certo automorfismo $\alpha$ dell’algebra se $\omega(\alpha(A))=\omega(A)$.
Possiamo quindi enunciare il teorema:
Teorema. Sia $\alpha$ un automorfismo di un’algebra involutiva unitale $\mathcal{A}$. Se $\omega$ è uno stato algebrico invariante rispetto ad $\alpha$, allora nella ricostruzione GNS di $\mathcal{A}$ e $\omega$, l’automorfismo $\alpha$ è implementato unitariamente. Lo stesso vale se abbiamo un gruppo di automorfismi invece di uno solo.
Dimostrazione. Poiché $\alpha$ è un automorfismo, $\alpha(A^*)\alpha(A) = \alpha(A^*A)$, per cui $\omega(\alpha(A^*)\alpha(A)) = \omega(\alpha(A^*A)) = \omega(A^*A)$ poiché $\alpha$ lascia $\omega$ invariante. Perciò l’ideale sinistro $\mathcal{I}$ che abbiamo usato nella dimostrazione del teorema GNS è invariante rispetto ad $\alpha$, cioè $\alpha(\mathcal{I}) = \mathcal{I}$.
Possiamo quindi definire la mappa $U$ ponendo
$$U[A] = [\alpha(A)]$$
In questa maniera $U$ è ben definita, perché se $B\neq A$ con $[B]=[A]$ allora $B-A \in \mathcal{I}$ e quindi
$$U[A]-U[B]=[\alpha(A-B)] = 0$$
Dove abbiamo usato la linearità di $\alpha$ e il fatto che lascia $\mathcal{I}$ invariante. Ora possiamo dimostrare che $U$ è un’isometria,
$$(U[A], U[B]) = ([\alpha(A)], [\alpha(B)])=\omega(\alpha(A)^*\alpha(B))=\omega(\alpha(A^*B)) = \omega(A^*B) = ([A],[B])$$
Poiché $\alpha$ è un automorfismo è anche invertibile, e perciò $U$ è invertibile, e quindi è unitaria. Possiamo quindi calcolare
$$\pi(\alpha(A))[B] = [\alpha(A)B] = [\alpha(A \alpha^{-1}(B))] = U [A \alpha^{-1}(B)] = U \pi(A) [\alpha^{-1}(B)] =U \pi(A) U^{-1} [B]$$
e quindi $\alpha$ è implementata unitariamente.
Ora se avessimo un altro automorfismo $\beta$ che lascia $\omega$ invariante, allora la stessa costruzione darà una mappa $V$ che lo implementa unitariamente. Poiché
$$UV[A]=U[\beta(A)] = [\alpha(\beta(A))]$$
allora $UV$ implementa unitariamente la composizione $\alpha\beta$, e perciò anche un gruppo di automorfismi che lasci $\omega$ invariante è implementato unitariamente. $\square$
Utilizzando questo teorema possiamo anche definire uno stato di vuoto. Richiederemo innanzitutto che lo stato di vuoto sia invariante per traslazioni; sarà inoltre necessario richiedere che abbia energia positiva in ogni sistema di riferimento inerziale.
In termini più precisi, consideriamo uno stato algebrico traslazionalmente invariante $\omega$. Ricordiamo che le traslazioni fanno parte di $\mathrm{ISO}(3,1)^+$. Utilizzando il teorema precedente otteniamo un’implementazione unitaria $U(a)$ sullo spazio di Hilbert di una traslazione di un quadrivettore $a\in \R^4$. Ora supponiamo che $U$ sia fortemente continua, cioè supponiamo che la mappa $R^4 \to \mathcal{H}$ data da $a \to U(a)\psi$ sia continua per ogni $\psi \in \mathcal{H}$. Il teorema di Stone afferma quindi che esistono degli operatori autoaggiunti $P_\mu$ tali che
$$U(a) = \exp{\pqty{i a^\mu P_\mu }}$$
In termini pratici $P_\mu$ è l’operatore quadrimpulso. Ad ogni sottoinsieme $\Delta \in \R^4$, cioè un possibile insieme di valori del quadrimpulso, può essere associato un proiettore $K(\Delta)$ che ci dice se un certo stato ha momento in $p$ o no. La mappa $\Delta \to K(\Delta)$ è chiamata misura a valori di proiettore. La condizione che l’energia sia positiva in ogni sistema di riferimento inerziale può essere definita precisamente in termini del quadrimpulso: una misura dell’operatore quadrimpulso può dare valori non-nulli solo nel cono luce verso avanti, ovvero
$$\overline{V^+} = \{ p \in \R^4\,\,\mathrm{t.c.}\,\,p^\mu p_\mu \geq 0\,\,\, p^0 \geq 0\}$$
In termini della misura, ciò è equivalente all’affermazione che il supporto della misura è contenuto in $\overline{V^+}$, ovvero $\mathrm{supp}(E) \subset \overline{V^+}$. Tale affermazione è nota come condizione spettrale. Detto in maniera più pratica, possiamo esprimere $U$ come un integrale,
$$U(a) = \int_R d^4 p\, e^{i a^\mu p_\mu} \ket{p}\bra{p}$$
dove la regione $R$ è interamente contenuta in $\overline{V^+}$, e quindi $U$ riceve contributi solo dalle regioni a energia positiva.
In questi termini possiamo quindi definire uno stato di vuoto:
Definizione. (stato di vuoto) Uno stato di vuoto è uno stato traslazionalmente invariante che soddisfa la condizione spettrale, tale che il vettore ciclico nello spazio di Hilbert dato dalla rappresentazione GNS sia l’unico vettore traslazionalmente invariante dello spazio di Hilbert a meno di multipli scalari.
Richiedere che il vuoto sia unico serve a semplificarci la vita: quando ciò non si verifica, ad esempio quando abbiamo rottura spontanea di simmetria, lo spazio di Hilbert si decompone in settori di superselezione ognuno con il suo vuoto, e possiamo considerare ogni settore separatamente.