Abbiamo visto qualche tempo fa due dimostrazioni del teorema di Noether, secondo cui ad ogni simmetria di una teoria classica dei campi corrisponde una corrente conservata $J^\mu$, cioè che soddisfa $\partial_\mu J^\mu=0$. Il teorema è valido solo se sono soddisfatte le equazioni del moto, che sono appunto richieste per dimostrarlo. Tuttavia, a livello quantistico le equazioni del moto non sono soddisfatte, e quindi non è in linea di principio ovvio che una corrente classicamente conservata sia anche conservata quantisticamente. L’identità di Ward-Takahashi ci dà delle condizioni per cui ciò si verifichi.
Partiamo dall’integrale sui cammini euclideo, che scriviamo schematicamente come
$$Z = \int D\phi e^{-S[\phi] + \int d^d x\, K \phi}$$
dove i $\phi$ sono schematicamente dei campi qualsiasi (non necessariamente scalari) e abbiamo introdotto una corrente esterna $K$, che ci servirà per fare i calcoli e alla fine sarà messa a zero.
Effettuando una trasformazione di simmetria, sappiamo dal teorema di Noether che per un qualche $\alpha(x)$ infinitesimale
$$\phi \to \phi’ = \phi + \alpha \Delta \phi\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, S \to S’ = S + \int d^d x\, \alpha(x) \partial_\mu J^\mu(x)$$
Poiché nell’integrale sui cammini il campo è una variabile muta, $Z$ resta immutata se rimpiazziamo tutti i $\phi$ con $\phi’$:
$$Z = \int D\phi’ e^{-S[\phi’] + \int d^d x\, K \phi’}$$
Ora supponiamo che la misura d’integrazione sia invariante rispetto alla trasformazione di simmetria:
$$D\phi’ = D\phi$$
Come abbiamo già visto, ciò non è sempre vero. Tuttavia l’invarianza della misura d’integrazione è un’ipotesi dell’identità di Ward-Takahashi. Ora sostituendo abbiamo
\begin{align*}
Z &= \int D\phi’ e^{-S[\phi’] + \int d^d x\, K \phi’}=\\
&= \int D\phi \exp{\bqty{-S[\phi] + \int d^d x\, K \phi + \int d^d x\,\alpha(x) \pqty{K \Delta\phi -\partial_\mu J^\mu}}}=\\
&= \int D\phi e^{-S[\phi] + \int d^d x\, K \phi} \bqty{1 + \int d^d x\,\alpha(x) \pqty{K \Delta\phi -\partial_\mu J^\mu}}=\\
&= Z + \int D\phi e^{-S[\phi] + \int d^d x\, K \phi}\int d^d x\,\alpha(x) \pqty{K \Delta\phi -\partial_\mu J^\mu}
\end{align*}
dove abbiamo effettuato un’espansione per $\alpha$ piccolo. Perciò
$$\int D\phi e^{-S[\phi] + \int d^d x\, K \phi}\int d^d x\,\alpha(x) \pqty{K \Delta\phi -\partial_\mu J^\mu}=0$$
Questa formula dev’essere soddisfatta per ogni $\alpha$, e quindi
$$\int D\phi e^{-S[\phi] + \int d^d x\, K \phi}\pqty{K \Delta\phi -\partial_\mu J^\mu}=0 \tag{*}$$
Da questa formula possiamo ricavare tutta una serie di identità, dette identità di Ward-Takahashi. Ponendo $K=0$ abbiamo
$$\langle \partial_\mu J^\mu \rangle = 0\tag{1}$$
cioè la conservazione della corrente. Derivando rispetto a $K(x’)$ abbiamo
$$\int D\phi e^{-S[\phi] + \int d^d x\, K \phi} \phi(x’)\pqty{K \Delta\phi -\partial_\mu J^\mu}+\int D\phi e^{-S[\phi] + \int d^d x\, K \phi}\delta(x-x’)\Delta\phi(x)=0$$
e quindi ponendo $K=0$ abbiamo
$$\langle \partial_\mu J^\mu(x) \phi(x’) \rangle = \delta(x-x’) \langle \Delta\phi(x) \rangle\tag{2}$$
Poiché la derivata parziale agisce solo su $x$, possiamo anche portarla fuori dalla media. A questo punto possiamo continuare questo gioco derivando di nuovo rispetto a $K(x^{\prime\prime})$ e così via, ottenendo
$$ \langle \partial_\mu J^\mu(x) \phi(x^1) \cdots \phi(x^n) \rangle = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \neq x^i \tag{3}$$
La formula generale, che include il caso $x=x^i$ è invece
$$ \langle \partial_\mu J^\mu(x) \prod_{i=1}^n \phi(x^i)\rangle =\sum_{i=1}^n \delta(x-x^i) \langle \Delta \phi(x^i) \prod_{j\neq i} \phi(x^j)\rangle \tag{4}$$
L’identità di Ward-Takahashi è valida anche rimpiazzando a $\phi$ un operatore qualsiasi.
Le $(1)-(2)-(3)-(4)$ sono collettivamente note come identità di Ward-Takahashi, e costituiscono una versione quantistica del teorema di Noether. È importante notare tuttavia che sono valide solamente se la misura dell’integrale sui cammini è invariante rispetto alla trasformazione di simmetria. Come abbiamo già visto, ciò non avviene sempre e in questo caso si ha un’anomalia: la simmetria classica è rotta dalla teoria quantistica, e ciò si manifesta col fatto che la corrente non è più conservata nella media.