Ricavare lo spettro di una teoria dei campi dalla formulazione euclidea

Come abbiamo visto in un articolo passato, è spesso comodo effettuare una rotazione di Wick dell’integrale sui cammini per ottenere la sua versione euclidea, che possiamo schematicamente scrivere come

$$Z = \int D\phi \, e^{-S[\phi]}$$

dove i $\phi$ indicano schematicamente i campi della teoria (usiamo $\phi$ per semplicità, ma i campi possono essere anche fermionici o vettoriali, ecc.). Il vantaggio immediato è che ora l’integrale è assolutamente convergente invece che oscillatorio, ed è quindi trattabile con vari metodi.

Rimane tuttavia da capire quale sia la connessione tra la teoria euclidea e la teoria nello spazio di Minkowski. Qui vediamo come è possibile estrarre lo spettro della teoria di Minkowski a partire dalla formulazione euclidea. Consideriamo un operatore $A$. Una sua funzione di correlazione può essere scritta ad esempio come

$$\langle A(0) A(t)^\dagger\rangle = \frac{1}{Z}\int D\phi \, A(0) A(t)^\dagger e^{-S[\phi]}$$

Pertanto la funzione di correlazione può essere calcolata interamente in termini di quantità euclidee. Ora notiamo che la funzione di partizione può anche essere scritta come

$$Z = \tr \pqty{e^{-T H}}$$

dove $H$ è l’Hamiltoniana della nostra teoria e $T$ è la lunghezza della dimensione temporale del nostro spaziotempo. Pertanto la funzione di correlazione può anche essere scritta come

$$\langle A(0) A(t)^\dagger\rangle = \frac{1}{Z}\tr \pqty{A(0) A(t)^\dagger e^{-T H}}$$

Nella rappresentazione di Heisenberg possiamo scrivere $A(0)=A$ e $A(t) = e^{t H} A e^{-t H}$. Poiché l’Hamiltoniana è hermitiana otteniamo quindi

$$\langle A(0) A(t)^\dagger\rangle = \frac{1}{Z}\tr \pqty{A e^{-t H} A^\dagger e^{t H} e^{-T H}}$$

Possiamo quindi inserire un insieme di autostati dell’Hamiltoniana $\ket{n}$ con energie $E_n$, che quindi soddisfano $\bra{n}e^{-tH}\ket{m} = e^{-tE_n} \delta_{nm}$. Perciò otteniamo

$$\langle A(0) A(t)^\dagger\rangle = \frac{1}{Z} \sum_{n,m}\bra{n}A\ket{m} \bra{m} A^\dagger \ket{n} e^{-t E_n+(t-T) E_m} = \frac{1}{Z} \sum_{n,m}\abs{\bra{n}A\ket{m}}^2 e^{-t E_n+(t-T) E_m}$$

Ora poiché $n$ e $m$ sono variabili mute e $A$ è hermitiano, possiamo anche scrivere

$$\begin{align*} \langle A(0) A(t)^\dagger\rangle &=\frac{1}{2Z} \sum_{n,m}\abs{\bra{n}A\ket{m}}^2 e^{-t E_n+(t-T) E_m} + \frac{1}{2Z} \sum_{n,m}\abs{\bra{n}A\ket{m}}^2 e^{-t E_m+(t-T) E_n} =\\ &=\frac{1}{Z} \sum_{n,m}\abs{\bra{n}A\ket{m}}^2 \frac{1}{2} \bqty{e^{-(t-T/2) E_n+(t-T/2) E_m} + e^{-(t-T/2) E_m+(t-T/2) E_n}} e^{-(E_n+E_m)T/2}=\\ &=\frac{1}{Z} \sum_{n,m}\abs{\bra{n}A\ket{m}}^2 \cosh{\bqty{\pqty{E_n-E_m}\pqty{t-T/2}}}e^{-(E_n+E_m)T/2}\\ \end{align*}$$

Per cui maggiore è l’energia di uno stato, più sarà soppresso per $T$ grande. Tuttavia in realtà conta solo la differenza di energia rispetto allo stato fondamentale, che possiamo quindi prendere con energia nulla. Ciò è evidente nel coseno iperbolico, dove compare solo una differenza di energie. Ma anche nell’esponenziale possiamo prendere $E_n$ e $E_m$ come differenza di energie: infatti possiamo scrivere alla stessa maniera la funzione di partizione,

$$Z = \tr \pqty{e^{-T H}} = \sum_{n=0}^\infty e^{-T E_n}$$

Poiché le energie appaiono sia al numeratore che al denominatore in un esponenziale, siamo liberi di aggiungere una costante $E_n \to E_n + C$ e tutte queste costanti si cancelleranno nell’espressione per $\langle A(0) A(t)^\dagger\rangle$. Perciò possiamo decidere che lo stato fondamentale abbia energia nulla $E_0=0$.

Ora nel limite $T\to \infty$ tutti gli stati eccitati sono soppressi da un fattore di $e^{-T E_m}$ e quindi i termini corrispondenti vanno a zero. Perciò nel limite $T\to \infty$ abbiamo

$$\langle A(0) A(t)^\dagger\rangle = \sum_{n=0}^\infty\abs{\bra{n}A\ket{0}}^2 e^{-t E_n}$$

Poiché conosciamo già $\langle A(0) A(t)^\dagger\rangle$, avendolo misurato dall’integrale sui cammini euclideo, possiamo fittarlo alla forma esponenziale che abbiamo a sinistra e così ottenere l’energia dei primi stati eccitati.

In pratica, ad esempio nelle simulazioni numeriche, non è possibile calcolare il limite $T \to \infty$, perciò si fanno dei calcoli per diversi valori di $T$, che viene poi introdotto come parametro del fit. Molto spesso si possono anche effettuare dei giochetti scegliendo diversi operatori $A$: ad esempio tramite considerazioni di simmetria si possono scegliere degli operatori per cui $\bra{n}A\ket{0}$ è zero per diversi stati $n$, e quindi estrarre le energie degli stati rimanenti.