Tipicamente in meccanica quantistica o in teoria quantistica dei campi l’oggetto di partenza è uno spazio di Hilbert, in cui abbiamo alcuni vettori, e su cui possiamo effettuare delle operazioni tramite degli operatori. Come abbiamo visto in un articolo precedente, il problema con questo approccio è che talvolta non tutti gli operatori hermitiani sono osservabili e quindi è necessario restringere “artificialmente” gli operatori ammissibili come osservabili.
Un’approccio alternativo, che permette di sorpassare questo problema, è l’approccio algebrico alla teoria quantistica dei campi. In questo approccio, l’oggetto centrale di studio è un’algebra astratta, che possiamo immaginare come l’algebra degli osservabili della teoria. Abbiamo visto alcune tipologie di algebra in un articolo precedente. In questa maniera lavoriamo direttamente con gli osservabili, e non c’è bisogno di restringere artificialmente gli operatori ammessi. Poiché l’algebra degli osservabili è un’algebra astratta, si pone però il problema di collegare questo approccio all’approccio tramite lo spazio di Hilbert.
Il teorema di ricostruzione GNS fornisce il collegamento tra l’approccio algebrico e l’approccio con lo spazio di Hilbert, ovvero data un’algebra permette di ricostruire uno spazio di Hilbert su cui gli elementi dell’algebra sono implementati come operatori.
Stati algebrici
In quanto segue supporremo che l’algebra degli osservabili $\mathcal{A}$ sia un’algebra involutiva unitale. Per formulare il problema abbiamo bisogno del concetto di stato algebrico:
Definizione. (stato algebrico) Uno stato algebrico è un funzionale lineare $\omega : \mathcal{A} \to \C$ tale che $\omega(A^* A) \geq 0$ per ogni $A \in \mathcal{A}$ e $\omega(1)=1$.
L’idea che sta dietro a questa definizione è la seguente. Supponiamo di avere il nostro amato spazio di Hilbert e consideriamo un vettore normalizzato $\ket{\psi}$. Allora possiamo definire un funzionale $\omega_\psi : \mathcal{A}\to \C$ ponendo $\omega_\psi(A)=\bra{\psi}A\ket{\psi}$. Questo funzionale è lineare e soddisfa le due proprietà sopra. Tuttavia, sebbene ogni vettore dia luogo ad un funzionale, il contrario non è necessariamente vero, specialmente perché in linea di principio nell’approccio algebrico abbiamo solo un’algebra e non uno spazio di Hilbert.
Rappresentazioni dell’algebra
Un piccolo interludio tecnico in cui definiamo la rappresentazione di un’algebra.
Definizione. Una rappresentazione di un’algebra involutiva unitale $\mathcal{A}$ è una triade $(\mathcal{H}, \mathcal{D}, \pi)$, dove $\mathcal{H}$ è uno spazio di Hilbert, $\mathcal{D}$ un suo sottospazio denso e $\pi: \mathcal{A} \to \mathcal{O}(\mathcal{H})$ una mappa dall’algebra allo spazio $\mathcal{O}(\mathcal{H})$ degli operatori su $\mathcal{H}$ tale che
- Per ogni $A \in \mathcal{A}$ il dominio di $\pi(A)$ è $\mathcal{D}$ e $\mathrm{im}\pi(A) \in \mathcal{D}$.
- Varie condizioni di compatibilità, cioè $\pi(1)=1$, $\pi(\alpha A+\beta B)=\alpha \pi(A) + \beta \pi(B)$ e $\pi(AB) = \pi(A)\pi(B)$. Inoltre $\pi(A^*)=\pi(A)^*$, dove $\pi(A)^*$ è l’0peratore aggiunto di $\pi(A)$.
Tutte queste condizioni sui domini e sottospazi densi sono condizioni tecniche familiari a chi ha studiato un po’ di analisi funzionale. L’ultima condizione è leggermente imprecisa, perché l’operatore aggiunto $\pi(A)^*$ potrebbe avere un dominio diverso rispetto a $\pi(A)$. Pertanto dobbiamo richiedere che il dominio di $\pi(A)^*$ includa almeno il dominio di $\pi(A)$, cioè $\mathcal{D}$ e quindi richiediamo che l’uguaglianza $\pi(A^*) =\pi(A)^*$ valga ristretta al dominio $\mathcal{D}$ comune a $\pi(A)$ e $\pi(A^*)$.
Diciamo che due rappresentazioni $\pi_1$ e $\pi_2$ sono unitariamente equivalenti se esiste una mappa unitaria $U: \mathcal{H}_1 \to \mathcal{H}_2$ che è un isomorfismo se ristretta tra $\mathcal{D}_1$ e $\mathcal{D}_2$ e soddisfa $U \pi_1(A) = \pi_2(A) U$ per ogni $A \in \mathcal{A}$.
Il teorema di ricostruzione GNS
Il teorema di ricostruzione GNS permette, data un’algebra e uno stato algebrico, di ricostruire uno spazio di Hilbert e una rappresentazione dell’algebra su tale spazio di Hilbert. Abbiamo infatti:
Teorema. (GNS) Data un’algebra involutiva unitale $\mathcal{A}$ e uno stato algebrico $\omega$, abbiamo una rappresentazione $(\mathcal{H}, \mathcal{D}, \pi)$ e un vettore $\Omega \in \mathcal{D}$ tale che $\mathcal{D} = \pi(\mathcal{A})\Omega$ e
$$\omega(A) =\bra{\Omega} \pi(A) \ket{\Omega}$$
La rappresentazione $(\mathcal{H}, \mathcal{D}, \pi)$ e il vettore $\Omega$ sono unici a meno di equivalenze unitarie.
La cosa importante da notare è che sia la tripletta $(\mathcal{H}, \mathcal{D}, \pi)$ che il vettore $\Omega$ dipendono dallo stato $\omega$: se cambiassimo stato, otterremmo in linea di principio un diverso spazio di Hilbert e un diverso vettore $\Omega$. Quest’ultimo, in particolare, è un vettore “ciclico” nel senso che permette di ottenere l’intero spazio di Hilbert (o meglio, un suo sottoinsieme denso) tramite ripetuta applicazione dei $\pi(A)$. Tuttavia non è uno stato di vuoto, sia perché dipende da quale stato algebrico si sceglie, sia perché la definizione di uno stato vuoto ha a che fare con la scelta di un’Hamiltoniana, che qui non abbiamo effettuato.
Per certi versi, questo risultato è meno sorprendente di quanto si potrebbe pensare. Gli spazi di Hilbert sono oggetti molto rigidi, nel senso che tutti gli spazi di Hilbert della stessa dimensione sono isomorfi. Inoltre la costruzione non è univoca, perché dipende da quale stato algebrico si sceglie.
Lasciamo la dimostrazione per un altro articolo.