Raccogliamo in questo articolo una serie di definizioni di varie tipologie di algebre. Abbiamo infatti:
Definizione (algebra). Un’algebra è uno spazio vettoriale su cui è definita una moltiplicazione bilineare.
Ovvero abbiamo due operazioni:
- un’addizione $+$, rispetto alla quale l’algebra è uno spazio vettoriale. Cioè se $x, y \in A$, allora anche $\alpha x + \beta y \in A$ come al solito, per ogni scalare $\alpha,\beta$.
- In aggiunta a ciò possiamo anche moltiplicare due elementi $x$ e $y$ dell’algebra, formandone il prodotto $xy \in A$. In altre parole il prodotto è una mappa bilineare $m: A \times A \to A$.
La bilinearità del prodotto vuol dire che $(\alpha x)y = x(\alpha y) = \alpha xy$ e inoltre soddisfa la proprietà distributiva da un lato $\pqty{\alpha x + \beta y} z = \alpha x z + \beta y z$ e dall’altro, $z\pqty{\alpha x + \beta y} = \alpha z x + \beta z y$. Ciò non vuol dire che l’algebra sia necessariamente associativa o commutativa. Infatti
Definizione (algebra unitale). Un’algebra è unitale se esiste un’identità per la moltiplicazione.
Ciò vuol dire che esiste un elemento dell’algebra, che chiamiamo $1$, tale che $1x = x1 = x$. Inoltre
Definizione (algebra associativa). Un’algebra è associativa se la moltiplicazione è associativa.
Ciò vuol dire che $(xy)z=x(yz)$, e questa è una condizione spesso utile, ma non necessaria alla definizione di algebra. Alla stessa maniera.
Definizione (algebra commutativa). Un’algebra è commutativa se la moltiplicazione è commutativa.
Ovvero è commutativa se $xy = yx$ per ogni $x,y \in A$.
Alcuni esempi:
- Una qualsiasi algebra di Lie è un’algebra con la “moltiplicazione” tra due elementi $x$ e $y$ data dalla parentesi di Lie $[x,y]$. Quest’ultima è bilineare, ma non associativa, né commutativa, né unitale.
- L’algebra di Grassmann delle forme differenziali è un’algebra con la “moltiplicazione” data dal prodotto esterno $x \wedge y$. Quest’ultimo è bilineare e associativo, ma non unitale né commutativo.
- L’algebra delle matrici $n \times n$ con la moltiplicazione tra matrici è un’algebra unitale e associativa, ma non commutativa.
- L’algebra dei polinomi con la moltiplicazione solita è un’algebra unitale, associativa e commutativa.
- I vettori tridimensionali $\R^3$ con il prodotto interno $\vec{x} \cdot \vec{y}$ non formano un’algebra, perché il risultato della moltiplicazione deve appartenere allo spazio vettoriale stesso, cioè dev’essere un vettore.
Involuzioni
Una delle algebre che abbiamo visto nell’esempio precedente è quella delle matrici. Un’operazione utile in questo caso è la coniugazione hermitiana, la cui formalizzazione astratta in maniera puramente algebrica è detta involuzione. In questa maniera possiamo parlare in maniera unificata di concetti come la coniugazione hermitiana, l’operatore aggiunto, la coniugazione complessa, ecc. in termini puramente algebrici. Diciamo infatti:
Definizione. (algebra involutiva) Un’algebra involutiva, detta anche algebra-$*$, è un’algebra $A$ su $\C$ con un’involuzione $*$, ovvero una mappa $*: A \to A$ tale che:
- $(\alpha x+\beta y)^* =\alpha^* x^* + \beta^* y^*$ dove $\alpha, \beta \in \C$ e $x,y \in A$ e $\alpha^*$ è il complesso coniugato di $\alpha$.
- $(xy)^* = y^* x^*$, cioè l’involuzione rovescia l’ordine della moltiplicazione, come la coniugazione hermitiana.
- L’involuzione è idempotente, cioè $(x^*)^*=x$.
Nonostante sia tradizionalmene denotata con l’asterisco, quando si pensa ad un’involuzione è meglio tenere a mente la coniugazione hermitiana.
Se un’algebra involutiva è anche unitale, allora poiché $1 x = x 1$, necessariamente dobbiamo avere $1^* = 1$.
Norme
Una norma su uno spazio vettoriale $A$ è una mappa $A \to \R$ data da $x \to \norm{x}$ e soddisfa le seguenti proprietà:
- la disuguaglianza triangolare $\norm{x+y} \leq \norm{x}+\norm{y}$
- $\norm{\alpha x} = \abs{\alpha}\,\norm{x}$ per ogni scalare $\alpha$.
- Se $\norm{x}=0$ allora $x=0$.
In particolare, da queste proprietà possiamo ricavare la positività della norma, $\norm{x} \geq 0$, poiché ponendo $\alpha = 0$ nella $2$ abbiamo $\norm{0}=0$ e quindi ponendo $y=-x$ nella $1$ e utilizzando la $2$ abbiamo $\norm{x}\geq 0$.
Possiamo estendere il concetto di norma anche ad un’algebra:
Definizione. (algebra normata) Un’algebra normata è un’algebra su cui è definita una norma tale che $\norm{xy} \leq \norm{x} \norm{y}$.
Questa condizione è necessaria per dimostrare alcune cose, ed è soddisfatta ad esempio dalla norma operatoriale, ma c’è chi non la include nella definizione. Se l’algebra è unitale, allora richiediamo inoltre che $\norm{1}=1$.
Finora abbiamo parlato solamente di condizioni di tipo algebrico. Tuttavia è talvolta utile introdurre delle condizioni di tipo analitico. Abbiamo quindi la seguente definizione,
Definizione. (algebra di Banach) Un’algebra di Banach è un’algebra normata che è completa rispetto alla topologia indotta dalla norma.
Ovvero un’algebra normata è un’algebra che è anche uno spazio di Banach. Ciò permette di utilizzare tutti i macchinari degli spazi di Banach, che risultano spesso utili.
Norme e involuzioni
Ora possiamo mettere insieme algebre normate e algebre involutive. Abbiamo infatti
Definizione. (algebra-$B^*$) Un’algebra-$B^*$, o anche algebra di Banach involutiva, è un’algebra di Banach che è anche un’algebra involutiva, tale che $\norm{x^*}=\norm{x}$ per ogni $x$ nell’algebra.
Ovvero un’algebra-$B^*$ è quello che viene fuori mettendo insieme un’algebra di Banach e un’algebra involutiva con una condizione di compatibilità. Le algebre-$B^*$ non sono poi così importanti, ma permettono di definire un altro tipo di algebra, ovvero
Definizione. (algebra-$C^*$) Un’algebra-$C^*$ è un’algebra-$B^*$ in cui $\norm{x^*x}=\norm{x} \norm{x^*} = \norm{x}^2$.
L’importanza delle algebre-$C^*$ deriva dal fatto che l’algebra degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert è un’algebra-$C^*$. La condizione che la definisce è utile nella dimostrazione di diversi risultati.