Abbiamo visto a grandi linee che nel modello di Schwinger la simmetria assiale è anomala, cioè è violata da effetti quantistici. Abbiamo anche calcolato l’anomalia utilizzando la regolarizzazione tramite funzione zeta, ma il calcolo è molto complicato. Qui presentiamo un metodo più semplice dovuto a Fujikawa. Rimandiamo all’articolo precedente per le convenzioni che adottiamo.
Anche in questo caso consideriamo l’integrale sui cammini Euclideo per l’elettrodinamica quantistica in $1+1$ dimensioni,
$$Z = \int D\bar{\psi} D\psi\,\,DA \exp{\bqty{-\int d^2x \pqty{\frac14 F_{\mu\nu}F_{\mu\nu} +\bar{\psi} {\not D}\psi}}}$$
Come abbiamo già visto, l’anomalia è causata dal fatto che il Jacobiano della trasformazione assiale non è uguale ad $1$. Stavolta diamo una caratterizzazione della misura fermionica $D\bar{\psi} D\psi$.
In particolare, l’operatore ${\not D}$ è antihermitiano, e quindi $i{\not D}$ è hermitiano. La sua equazione agli autovalori è
$$i{\not D} \phi_n = \lambda_n \phi_n$$
Poiché $i{\not D}$ è hermitiano, i $\lambda_n$ sono reali e i $\phi_n$ sono ortonormali. Possiamo quindi espandere ogni spinore in una base di autovettori di $i{\not D}$, cioè
$$\psi(x) = \sum_n a_n \phi_n(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\bar{\psi}(x) = \sum_n \phi_n(x)^\dagger \bar{b}_n$$
Poiché gli spinori sono numeri di Grassmann, anche i $a_n, \bar{b}_n$ sono numeri di Grassman. Allora integrare su $\psi$ e $\bar{\psi}$ vuol dire integrare su $a_n, \bar{b}_n$, cioè
$$D\bar{\psi} D\psi = \prod_{n,m}d \bar{b}_n\,d a_m $$
Una trasformazione chirale locale è data da
$$\psi \to e^{i \alpha(x) \gamma_5} \psi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\bar{\psi} \to \bar{\psi} e^{i \alpha(x) \gamma_5}$$
e l’azione diventa
$$\bar{\psi}’ {\not D}\psi’ = \bar{\psi} {\not D}\psi + (\partial_\mu \alpha) i \bar{\psi} \gamma^\mu \gamma_5 \psi$$
Ora vediamo come cambia la misura. Abbiamo
$$\psi’=e^{i \alpha(x) \gamma_5} \psi$$
Espandendo entrambi i lati nella base di autofunzioni, otteniamo
$$\sum_n a’_n \phi_n(x)=\sum_n a_n e^{i \alpha(x) \gamma_5}\phi_n(x)$$
Ora utilizziamo l’ortogonalità delle $\phi_n$, per cui moltiplichiamo entrambi i lati per $\phi_m(x)^\dagger$ e integriamo per ottenere
$$a’_m = \sum_n a_n \int d^2 x \phi_m(x)^\dagger e^{i \alpha(x) \gamma_5}\phi_n(x)\equiv \sum_n C_{mn} a_n$$
dove a sinistra abbiamo usato l’ortogonalità delle $\phi_n$ e abbiamo posto
$$C_{mn} = \int d^2 x\, \phi_m(x)^\dagger e^{i \alpha(x) \gamma_5}\phi_n(x)$$
Alla stessa maniera, avremo $\bar{b}’_m = \sum_n\bar{b}’_n C_{nm}$. Pertanto vedendo $a, \bar{b}$ come vettori con un numero infinito di componenti, e $C$ come una matrice infinita, stiamo effettuando la trasformazione $a’ = C a$ e $\bar{b}’ = \bar{b} C$. Se gli $a, \bar{b}$ fossero dei numeri normali, allora il Jacobiano di questa trasformazione sarebbe $\det{C}^2$. Tuttavia, poiché $a, \bar{b}$ sono numeri di Grassmann, la misura cambia in realtà al contrario, cioè il Jacobiano è $\det{C}^{-2}$. Questo perché se $\theta$ è un numero di Grassmann, allora $\int d\theta \equiv \pdv{}{\theta}$, ma potete vedere qui per un calcolo esplicito. Pertanto abbiamo
$$D\bar{\psi}’ D\psi’ = D\bar{\psi} D\psi \det{C}^{-2}$$
Ora si tratta di calcolare il Jacobiano $\det{C}^{-2}$. Possiamo innanzitutto scriverlo come $\log{\det{C}^{-2}} = -2 \mathrm{tr}\log{C}$ e quindi espandere $C$ per $\alpha$ piccolo:
$$C_{nm} = \delta_{nm}+i\int d^2 x\, \phi_m(x)^\dagger i \alpha(x) \gamma_5\phi_n(x)+\mathcal{O}(\alpha^2)$$
dove abbiamo usato l’ortogonalità delle $\phi_n$. Il primo termine è la matrice identità, per cui possiamo espandere il logaritmo ottenendo
\begin{align*}
\log{\det{C}^{-2}} &= -2 \mathrm{tr}\,i\int d^2 x\, \phi_m(x)^\dagger i \alpha(x) \gamma_5\phi_n(x)+\mathcal{O}(\alpha^2)=\\
&=-2i \int d^2 x\, \alpha(x) \sum_n \phi_n(x)^\dagger \gamma_5\phi_n(x)+\mathcal{O}(\alpha^2)
\end{align*}
Questa è la stessa espressione che avevamo ottenuto nel metodo con la funzione zeta. Ora il metodo di Fujikawa consiste nell’inserire un “regolatore” per calcolare la traccia. Questo è un passo arbitrario, e se il regolatore è scelto male il risultato finale è sbagliato. In letteratura si trovano lunghe discussioni su quale regolatore utilizzare. Noi inseriamo $e^{-\lambda_n^2 /M^2}$ dove $M$ è una massa “grande”:
$$\sum_n \phi_n(x)^\dagger \gamma_5\phi_n(x) \equiv \lim_{M\to \infty}\sum_n \phi_n(x)^\dagger \gamma_5 e^{-\lambda_n^2/M^2}\phi_n(x) $$
Possiamo utilizzare l’equazione agli autovalori per $\phi_n$ e quindi inserire una traccia sugli indici spinoriali (l’espressione è infatti uno scalare per gli indici spinoriali), e ottenendo quindi
\begin{align*}
\sum_n \phi_n(x)^\dagger \gamma_5 e^{-\lambda_n^2/M^2}\phi_n(x)&=\sum_n \phi_n(x)^\dagger \gamma_5 e^{{\not D\,}^2/M^2}\phi_n(x)=\\
&=\lim_{y\to x}\sum_n \phi_n(y)^\dagger \gamma_5 e^{{\not D\,}^2/M^2}\phi_n(x)=\\
&=\lim_{y\to x}\mathrm{tr}\pqty{\gamma_5 e^{{\not D\,}^2/M^2}\sum_n \phi_n(x)\phi_n(y)^\dagger }=\\
&=\lim_{y\to x}\mathrm{tr}\pqty{\gamma_5 e^{{\not D\,}^2/M^2}\delta(x-y)}
\end{align*}
dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato di nuovo l’ortonormalità delle $\phi_n$. Ora $\lim_{y\to x} e^{{\not D\,}^2/M^2 \delta(x-y)}$ l’abbiamo già calcolato quando abbiamo fatto i conti con la funzione gamma (articolo #4), dove avevamo trovato:
$$\lim_{y\to x} e^{ {\not D\,}^2/M^2} \delta(x-y) = \int \frac{d^2 k}{(2\pi)^2} e^{\pqty{-k^2 +2i k \cdot D +{\not D\,}^2 }/M^2}$$
In questo caso poiché abbiamo $M$ grande sarebbe bastato calcolare i vari termini in potenze di $1/M$, ma dato che abbiamo il risultato esatto possiamo anche usarlo. Ora poniamo $p=k/M$ nell’integrale, per cui sostituendo mettendo tutto insieme
$$\sum_n \phi_n(x)^\dagger \gamma_5\phi_n(x) \equiv \lim_{M\to \infty} M^2\int \frac{d^2 p}{(2\pi)^2} e^{-p^2}\mathrm{tr}\pqty{\gamma_5e^{2i p \cdot D/M +{\not D\,}^2 /M^2}}$$
Possiamo quindi espandere l’esponenziale in serie per vedere quali sono i primi termini. Chiaramente qualunque cosa decada più rapidamente di $1/M^2$ è irrilevante nel limite, per cui teniamo solo i primi termini, ottenendo su una funzione generica $f$
$$e^{2i p \cdot D/M +{\not D\,}^2 /M^2} f = f + 2i\frac{1}{M} p \cdot D f +\frac{1}{M^2}{\not D\,}^2 f -2 \frac{1}{M^2} (p\cdot D) (p \cdot D) f + \mathcal{O}\pqty{\frac{1}{M^3}}$$
Anche in questo caso avevamo effettuato il calcolo già nel quinto articolo della serie sulla funzione zeta. Nella traccia con $\gamma_5$ l’unico termine che non è zero è quello che contiene delle matrici gamma, cioè ${\not D}^2$, e quindi calcolando anche l’integrale Gaussiano che rimane,
$$\sum_n \phi_n(x)^\dagger \gamma_5\phi_n(x) = \frac{1}{4\pi} \mathrm{tr}\pqty{\gamma_5 {\not D\,}^2}= -\frac{e}{2\pi} F_{41}$$
In totale quindi il Jacobiano è dato da
$$\det{C}^{-2} =\exp{\bqty{i\frac{e}{\pi}\int d^2 x\, \alpha(x) F_{41}}}$$
ed è lo stesso che avevamo ottenuto nel calcolo con la funzione zeta, e pertanto dà la stessa anomalia. Il metodo di Fujikawa è più semplice rispetto al metodo con la funzione $\zeta$, ma la scelta del regolatore è un problema: $e^{{\not D}^2/M^2}$ funziona, probabilmente perché è invariante di calibro. Se invece avessimo scelto ad esempio $e^{{\not \partial}^2/M^2}$ con le autofunzioni di ${\not \partial}$ avremmo ottenuto un risultato sbagliato.