Nella serie di articoli sul calcolo dell’anomalia chirale, abbiamo calcolato il Jacobiano della trasformazione per $\alpha$ infinitesimale:
$$\log{J[\alpha]} =\int d^2 x\, \alpha(x) i\frac{e}{\pi} F_{41} +\mathcal{O}(\alpha)^2$$
Con un trucco possiamo di qui ottenere il risultato per $\alpha$ finito. Il risultato non è troppo utile, perché $\alpha$ infinitesimale è comunque sufficiente per calcolare l’anomalia. In ogni caso è interessante che il calcolo può essere effettuato. Ritornando alla definizione del Jacobiano, avevamo
$$J[\alpha] = \frac{\det{{\not D}}}{\det{\pqty{{\not D + i \partial_\mu \alpha \gamma_\mu \gamma_5}}}}$$
Prima di tutto utilizziamo il risultato $\gamma_\mu \gamma_5 = i \epsilon_{\mu\nu} \gamma_\nu$, che possiamo verificare manualmente, e scriviamo
$$J[\alpha] = \frac{\det{\pqty{{\not \partial}-i e \gamma_\mu A_\mu}}}{\det{\pqty{{\not \partial -i e \gamma_\mu (A_\mu + \frac{i}{e} \epsilon_{\mu\nu}\partial_\nu \alpha)}}}}$$
Possiamo scriverlo anche alla maniera seguente:
$$J[\alpha] = \prod_{n=0}^{N-1} \frac{\det{\pqty{{\not \partial -i e \gamma_\mu (A_\mu + \frac{i}{e} \epsilon_{\mu\nu}\partial_\nu \alpha \frac{n}{N})}}}}{\det{\pqty{{\not \partial -i e \gamma_\mu (A_\mu + \frac{i}{e} \epsilon_{\mu\nu}\partial_\nu \alpha \frac{n+1}{N})}}}}$$
dove i termini si cancellano due a due, ritornando quindi alla formula precedente. Il prodotto sopra è appunto indipendente da $N$ e quindi tanto vale prenderne il limite per $N\to \infty$. Introduciamo inoltre
$$B^n_{\mu} = A_\mu + \frac{i}{e} \epsilon_{\mu\nu}\partial_\nu \alpha \frac{n}{N}$$
per cui vediamo che nel denominatore abbiamo
$$-i e \gamma_\mu\bqty{A_\mu + \frac{i}{e} \epsilon_{\mu\nu}\partial_\nu \alpha \frac{n+1}{N}}= -i eB^n_{\mu}+\gamma_\mu\epsilon_{\mu\nu}\partial_\nu \alpha \frac{1}{N}=B^n_{\mu}+ i \gamma_\nu \gamma_5 \partial_\nu \alpha \frac{1}{N}$$
dove abbiamo usato di nuovo $\gamma_\mu \gamma_5 = i \epsilon_{\mu\nu} \gamma_\nu$. Ovvero prendendo il logaritmo e mettendo il limite,
$$\log J[\alpha] = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^{N-1} \log \frac{\det{\pqty{{\not \partial-i e{\not B^n}}}}}{\det{\pqty{{\not \partial-i e{\not B^n}+i \gamma_\nu \gamma_5 \partial_\nu \alpha \frac{1}{N}}}}}$$
Nel limite in cui $N\to \infty$, nonostante $\alpha$ non sia in genere piccolo, $\alpha/N$ è infinitesimale. Possiamo perciò applicare la formula che abbiamo calcolato per la forma infinitesimale del Jacobiano, rimpiazzando in ognuno dei termini della somma $A$ con $B^n$. Perciò abbiamo
$$\log J[\alpha] = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^{N-1} \int d^2 x\, \frac{\alpha(x)}{N} i\frac{e}{\pi} F_{41}(B^n) +\mathcal{O}\pqty{\frac{1}{N^2}}$$
dove $F_{41}(B^n)$ è il tensore elettromagnetico calcolato per $B^n$ invece che per $A$, che possiamo calcolare esplicitamente:
\begin{align*}
F_{41}(B^n)&=\frac12 \epsilon_{\mu\nu} F_{\mu\nu}(B^n)=\\
&=\frac12 \epsilon_{\mu\nu} \pqty{\partial_\mu B^n_\nu -\partial_\nu B^n_\mu}=\\
&=\frac12 \epsilon_{\mu\nu} \pqty{\partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu} + \frac{i n}{e N}\bqty{\epsilon_{\mu\nu} \epsilon_{\nu\sigma} \partial_\mu\partial_\sigma \alpha + \epsilon_{\mu\nu} \epsilon_{\mu\sigma} \partial_\nu\partial_\sigma \alpha}=\\
&=\frac12 \epsilon_{\mu\nu} F_{\mu\nu} + \frac{i n}{e N}\bqty{-\delta_{\mu\sigma}\partial_\mu\partial_\sigma \alpha + \delta_{\nu\sigma} \partial_\nu\partial_\sigma \alpha}=\\
&=F_{41} -2\frac{i}{e} \frac{n}{N}\partial^2 \alpha
\end{align*}
Sostituendo nella formula sopra abbiamo quindi
$$\log J[\alpha] = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^{N-1} \int d^2 x\, \frac{\alpha(x)}{N} i\frac{e}{\pi} \bqty{F_{41} -2\frac{i}{e} \frac{n}{N}\partial^2 \alpha} +\mathcal{O}\pqty{\frac{1}{N^2}}$$
Calcolando la somma abbiamo $\sum_{n=0}^{N-1} 1 = N$ e $\sum_{n=0}^{N-1} n = (N-1)N/2$. Possiamo quindi calcolare esplicitamente il limite, ottenendo in definitiva:
$$J[\alpha] = \exp{\bqty{i\frac{e}{\pi}\int d^2 x\, \alpha(x) \pqty{ F_{41} -\frac{i}{e} \partial^2 \alpha}}}$$
Per cui vediamo che il termine che abbiamo aggiunto è di ordine $\alpha^2$ e poteva essere ignorato nel caso precedente.