Il meccanismo di Stueckelberg è uno dei modi che permette di dare una massa ai campi di calibro senza rompere la simmetria di calibro (gauge). Il metodo più popolare per ottenere lo stesso risultato è il meccanismo di Higgs, che abbiamo trattato in un altro articolo.
Consideriamo una teoria di calibro $\U(1)$, a cui aggiungiamo un campo scalare $\chi$ con un’azione della forma,
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + m^2 (\partial_\mu \chi + A_\mu)(\partial^\mu \chi + A^\mu)$$
Il modello è invariante di calibro perché, per costruzione, rispetto ad una trasformazione di calibro poniamo
$$\chi \to \chi + \alpha\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A_\mu \to A_\mu -\partial_\mu \alpha$$
Questa trasformazione lascia palesemente l’azione invariante. Possiamo anche effettuare una particolare scelta di calibro ponendo $\alpha = -\chi$. In questa maniera l’azione sopra descrive semplicemente un campo $\U(1)$ con massa $m$, ma senza nessuna simmetria di calibro residua.
Questo meccanismo piuttosto strano si basa su una distinzione solitamente trascurata. Poiché in una teoria di calibro la Lagrangiana è definita in base all’algebra di Lie (infatti sia $A_\mu$ che $F_{\mu\nu}$ sono elementi dell’algebra di Lie, come evidente in teorie non-Abeliane), allora due gruppi di Lie diversi che hanno la stessa algebra di Lie danno la stessa Lagrangiana per i campi vettoriali. La differenza si può notare nella trasformazione per i campi di materia. Ad esempio, in questo caso sia $\U(1)$ che $\R$ hanno la stessa algebra di Lie, cioè $\R$. Perciò entrambi i gruppi hanno la stessa Lagrangiana per i campi vettoriali. Tuttavia un campo scalare $\U(1)$ trasforma secondo una legge di trasformazione $\U(1)$, cioè $\phi \to e^{i\alpha} \phi$, mentre un campo scalare $\R$ trasforma secondo una legge di trasformazione in $\R$, cioè $\chi \to \chi + \alpha$. La particolarità del modello $\R$ è che il campo scalare in questo caso può essere rimosso da una scelta di calibro.
Il modello di Stuckelberg può essere visto come un limite particolare del modello di Higgs. In particolare avevamo visto nell’articolo sul modello di Higgs che la Lagrangiana del modello di un campo scalare di Higgs con una teoria $\U(1)$ può essere scritta come
\begin{multline}
\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \partial^\mu \rho \partial_\mu \rho + (\rho_0+\rho)^2 \partial^\mu \xi \partial_\mu \xi -2 e A^\mu \partial_\mu \xi (\rho_0+\rho)^2 + e^2 A_\mu A^\mu (\rho_0+\rho)^2+\\ -\mu \pqty{\rho_0+\rho}^2 -\lambda \pqty{\rho_0+\rho}^4
\end{multline}
Ora poniamo $\rho=0$:
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \rho_0^2 \partial^\mu \xi \partial_\mu \xi -2 e A^\mu \partial_\mu \xi \rho_0^2 + e^2 A_\mu A^\mu \rho_0^2 -\mu\rho_0^2 -\lambda \rho_0^4$$
Ignorando le costanti e massaggiando l’espressione otteniamo:
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \rho_0^2 \pqty{\partial_\mu \xi -eA_\mu}\pqty{\partial^\mu \xi -eA^\mu}$$
Ovvero esattamente il modello di Stueckelberg, a parte qualche differenza di convenzioni. La considerazione fisica che ci permette di porre $\rho=0$ è la seguente. Utilizzando il fatto che $\rho_0=\sqrt{-\mu/2\lambda}$ possiamo andare a cercare il coefficiente di $\rho^2$ nella Lagrangiana iniziale, che ci dà la massa del bosone di Higgs. Troviamo che il termine è $2\mu \rho^2$, per cui il bosone di Higgs ha una massa di $\sqrt{-4\mu}$. Se consideriamo il limite $\mu \to -\infty$ e $\lambda \to +\infty$ tenendo il rapporto $\mu/\lambda$ fisso, allora $\rho_0$ rimane finito nel limite. Tuttavia la massa del bosone di Higgs diventa infinita, e perciò si “disaccoppia”, cioè non è più una particella fisica e possiamo porre $\rho=0$. In questo limite otteniamo il modello di Stueckelberg, dove il campo $\chi$ altro non è se non il “bosone di Goldstone” che viene mangiato dal campo di calibro.