Nel modello standard delle particelle, il bosone di Higgs è un doppietto scalare complesso, cioè un vettore formato da due campi scalari complessi $\Phi_0$ e $\Phi_+$:
$$\Phi = \begin{pmatrix}\Phi_0 \\ \Phi_+\end{pmatrix}$$
dove la notazione $0,+$ è convenzionale. La Lagrangiana del bosone di Higgs, ignorando gli altri campi, è data da
$$\mathcal{L} = \frac12 \partial_\mu \Phi^\dagger \partial^\mu \Phi -\frac12 m^2 \Phi^\dagger \Phi -\frac{\lambda}{4!} \pqty{\Phi^\dagger \Phi}^2 $$
Ovvero abbiamo l’azione di due teorie $\phi^4$ complesse che interagiscono tra di loro. In particolare l’ultimo termine è più esplicitamente
$$\pqty{\Phi^\dagger \Phi}^2 = \pqty{\abs{\Phi_0}^2+\abs{\Phi_+}^2}^2 = \abs{\Phi_0}^4 + 2\abs{\Phi_0}^2\abs{\Phi_+}^2 + \abs{\Phi_+}^4$$
e quindi vediamo che i due campi sono separatamente autointeragenti come normale nella teoria $\phi^4$, ma hanno anche delle interazioni l’uno con l’altro.
Quali sono le simmetrie di questo modello? Abbiamo scritto la Lagrangiana $\mathcal{L}$ con l’idea di preservare la simmetria $\mathrm{U}(2)$ del doppietto. Infatti se $\Phi’ = U \Phi$ con $U \in \mathrm{U}(2)$, abbiamo
$$(\Phi’)^\dagger \Phi’ = \Phi^\dagger U^\dagger U \Phi= \Phi^\dagger \Phi$$
poiché $U$ è appunto unitaria. Poiché ogni matrice unitaria può essere scritta come $U= e^{i\delta} B$ con $e^{i\delta} \in \mathrm{U}(1)$ e $B \in \mathrm{SU}(2)$, allora possiamo descrivere questa simmetria come una simmetria $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$. Ciò non ci sorprende perché abbiamo incluso nella Lagrangiana solo termini della forma $\Phi^\dagger \Phi$, con l’idea cioè di preservare questa simmetria.
La cosa sorprendente è che in realtà il gruppo di simmetria è più ampio di ciò che si potrebbe ingenuamente credere: andremo a vedere, infatti, che la Lagrangiana sopra ha una simmetria $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)$, dove la trasformazione $\mathrm{U}(1)$ che abbiamo visto forma un sottogruppo del secondo $\mathrm{SU}(2)$. Per fare ciò, utilizziamo una notazione matriciale. Scriviamo cioè
$$\boldsymbol{\Phi} = \begin{pmatrix}\Phi_0^* & \Phi_+\\ -\Phi_+^* & \Phi_0\end{pmatrix}$$
Con ciò stiamo semplicemente riscrivendo il doppietto originale in forma di matrice, ma i gradi di libertà restano gli stessi; perciò in un campo $\boldsymbol{\Phi}$ valido, nella diagonale dobbiamo avere due campi l’uno il complesso coniugato dell’altro, e in maniera simile per l’antidiagonale; in altre parole il campo $\boldsymbol{\Phi}$ deve mantenere la forma appena descritta in modo da poter essere traslato nuovamente in forma di doppietto. In questi termini abbiamo
$$\Phi^\dagger \Phi = \abs{\Phi_0}^2 + \abs{\Phi_+}^2 = \frac12 \mathrm{tr}(\boldsymbol{\Phi}^\dagger \boldsymbol{\Phi})$$
Per cui possiamo riscrivere la Lagrangiana come
$$\mathcal{L} = \frac14 \mathrm{tr}\pqty{\partial_\mu \boldsymbol{\Phi}^\dagger \partial^\mu \boldsymbol{\Phi}}-\frac14 m^2 \mathrm{tr}\pqty{\boldsymbol{\Phi}^\dagger \boldsymbol{\Phi}} -\frac{\lambda}{4 \cdot 4!} \pqty{\mathrm{tr}\pqty{\boldsymbol{\Phi}^\dagger \boldsymbol{\Phi}}}^2$$
Scritta in termini dei campi scalari $\Phi_0$ e $\Phi_+$, la Lagrangiana è del tutto immutata. Tuttavia scriverla in termini della matrice, piuttosto che del vettore, ci permette di effettuare una trasformazione di simmetria diversa, ovvero:
$$\boldsymbol{\Phi}’ = L \boldsymbol{\Phi} R^\dagger$$
dove $L, R \in \mathrm{SU}(2)$ sono due matrici in linea di principio diverse, e perciò la simmetria totale è detta $\mathrm{SU}(2)_L \times \mathrm{SU}(2)_R$ per indicare i due pezzi. Non è difficile dimostrare che questa sia una simmetria. Abbiamo infatti
$$\mathrm{tr}(\boldsymbol{\Phi}’^\dagger \boldsymbol{\Phi}’) = \mathrm{tr}(R\boldsymbol{\Phi}^\dagger L^\dagger L \boldsymbol{\Phi} R^\dagger) = \mathrm{tr}(\boldsymbol{\Phi}^\dagger L^\dagger L \boldsymbol{\Phi} R^\dagger R)=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\Phi}^\dagger \boldsymbol{\Phi})$$
dove abbiamo usato la ciclicità della traccia e $L^\dagger L = R^\dagger R = 1$, dato che sono entrambe matrici unitarie.
Come abbiamo notato prima, una cosa importante da controllare è che una trasformazione del genere non cambi la forma della matrice $\boldsymbol{\Phi}$. Infatti dobbiamo sempre essere in grado di ritradurre la matrice $\boldsymbol{\Phi}$ al doppietto $\Phi$. Perciò $\boldsymbol{\Phi}’$ deve avere la stessa forma di $\boldsymbol{\Phi}$: cioè i due elementi della diagonale devono essere uno il complesso coniugato dell’altro, mentre quelli nella “diagonale inversa” devono essere uno l’opposto del complesso coniugato dell’altro. Solo così è possibile individuare $\Phi_0$ e $\Phi_+$ da $\boldsymbol{\Phi}$ e quindi farli corrispondere agli elementi di $\Phi$.
Questo è il motivo per cui nonostante $\mathrm{tr}(\boldsymbol{\Phi}^\dagger \boldsymbol{\Phi})$ sia superficialmente invariante rispetto all’ulteriore trasformazione $\boldsymbol{\Phi}’ = e^{i\delta} \boldsymbol{\Phi}$, questa trasformazione non è ammessa perché cambia la forma di $\boldsymbol{\Phi}$: nella diagonale avremmo infatti $e^{i\delta}\Phi_0$ e $e^{i\delta}\Phi_0^*$, che non sono il complesso coniugato l’uno dell’altro. Ora verifichiamo che le trasformazioni $L,R$ non modificano la forma di $\boldsymbol{\Phi}$. Una generica matrice $U \in \mathrm{SU}(2)$ è data da
$$U = \begin{pmatrix}\alpha^* & -\beta^*\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$$
con $\abs{\alpha}^2 + \abs{\beta}^2 = 1$. Per cui esplicitando la moltiplicazione,
$$U \boldsymbol{\Phi} = \begin{pmatrix}\alpha^* & -\beta^*\\ \beta & \alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Phi_0^* & \Phi_+\\ -\Phi_+^* & \Phi_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha^* \Phi_0^* +\beta^* \Phi_+^* & \alpha^* \Phi_+ -\beta^* \Phi_0\\ \beta \Phi_0^* -\alpha \Phi_+^* & \beta \Phi_+ + \alpha \Phi_0\end{pmatrix}$$
e pertanto $\mathrm{SU}(2)_L$ mantiene la forma di $\boldsymbol{\Phi}$. Un simile calcolo mostra che anche $\boldsymbol{\Phi} U^\dagger$ ha la stessa forma di $\boldsymbol{\Phi}$ e quindi anche $\mathrm{SU}(2)_R$ è una trasformazione valida.
La simmetria $\mathrm{SU}(2)_L \times \mathrm{SU}(2)_R$ è una simmetria globale del Modello Standard, detta “simmetria tutelare” (in inglese custodial symmetry). Questa simmetria assume un ruolo importante in diversi casi, che però qui non tratteremo. È importante notare che $\mathrm{SU}(2)_R$ ha un sottogruppo detto $\U(1)_Y$, dato dalle matrici della forma:
$$R(\theta) = \begin{pmatrix}e^{i \theta} & 0\\ 0 & e^{-i \theta}\end{pmatrix}$$
In termini del doppietto originale, se $\boldsymbol{\Phi}’ = \boldsymbol{\Phi} R(\theta)^\dagger$ allora $\Phi’ = e^{i\theta} \Phi$, che è esattamente la trasformazione $\mathrm{U}(1)$ che avevamo trovato all’inizio. Il sottogruppo $\mathrm{SU}(2)_L \times \mathrm{U}(1)_Y$ della simmetria tutelare $\mathrm{SU}(2)_L \times \mathrm{SU}(2)_R$ diventa un pezzo del gruppo di calibro del Modello Standard, che però mantiene l’intera simmetria tutelare come simmetria globale.