Le matrici unitarie $N \times N$ formano il gruppo $\U(N)$, che agisce naturalmente sullo spazio dei vettori complessi con $N$ elementi, ovvero $\C^N$. Tuttavia sappiamo bene che ad ogni numero complesso corrispondono due numeri reali, la sua parte reale e immaginaria. Perciò possiamo anche identificare $\C^N \cong \R^{2N}$ e quindi l’azione di $\U(N)$ su $\C^N$ induce un’azione di $\U(N)$ su $\R^{2N}$. Qual è la trasformazione in $\R^{2N}$ che corrisponde ad una matrice unitaria? Vedremo che è un tipo particolare di trasformazione ortogonale, e che in generale $\U(N)$ è un sottogruppo di $\SO(2N)$:
$$\U(N) \leq \SO(2N)$$
Sappiamo già che $\U(1)\cong \SO(2)$. Per $N$ maggiori, invece, $\U(N)$ è più piccolo delle corrispondenti trasformazioni ortogonali in dimensione doppia. Questo fatto ha una certa importanza in fisica: ad esempio se abbiamo $N$ campi complessi e una Lagrangiana con simmetria $\U(N)$, passando a parti reali e immaginarie scopriamo in realtà di avere tipicamente una simmetria $\SO(2N)$, quindi più ampia.
Una matrice unitaria $U \in \U(N)$ agisce su un vettore complesso $\vec{z}$ tramite semplice moltiplicazione, $\vec{z} \to \vec{z}’ = U \vec{z}$. Ora scriviamo entrambi gli oggetti nella loro parte reale e immaginaria,
$$U = R + i I \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{z} = \vec{x}+i\vec{y}$$
dove $R, I$ sono matrici reali, e $\vec{x},\vec{y}$ sono vettori reali. Poiché $U$ è unitaria, allora
$$1 = U^\dagger U = \pqty{R^T -i I^T}\pqty{R+iI} = R^T R+ I^T I+i \pqty{R^T I- I^T R}$$
Per cui dobbiamo avere
$$R^T R+ I^T I=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R^T I=I^T R$$
Per cui agendo separatamente sulle due parti reale e immaginaria abbiamo
$$\vec{z}’ = U \vec{z} =\pqty{R + i I} \pqty{\vec{x}+i\vec{y}} = R \vec{x} -I \vec{y} + i \pqty{I \vec{x} + R \vec{y}}$$
ovvero
$$\vec{x}’=R \vec{x} -I \vec{y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{y}’ = I \vec{x} + R \vec{y}$$
Ora poniamo $\vec{x}$ e $\vec{y}$ in un vettore unico, $\vec{X} = \begin{pmatrix} \vec{x} \\ \vec{y} \end{pmatrix}$. Per cui in termini di questo vettore,
$$\vec{X}’ = \begin{pmatrix} R \vec{x} -I \vec{y} \\ I \vec{x} + R \vec{y} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} R & -I \\ I & R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x} \\ \vec{y} \end{pmatrix}$$
La matrice $O = \begin{pmatrix} R & -I \\ I & R \end{pmatrix}$ è una matrice $2N \times 2N$. Ora verifichiamo che è ortogonale. Abbiamo
$O^T O = \begin{pmatrix} R^T & I^T \\ -I^T & R^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R & -I \\ I & R \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} R^T R + I^T I & -R^T I + I^T R \\ -I^T R + R^T I& R^T R + I^T I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1$
dove abbiamo usato le equazioni per $R$ e $I$ ottenute in precedenza. Perciò $O$ è una trasformazione ortogonale. Ciò dimostra che $\U(N)$ è un sottogruppo di $\SO(2N)$.
Per convincerci che $\U(N)$ sia un sottogruppo proprio, cioè che $\U(N) \neq \SO(2N)$ basta calcolarne la dimensione. Sappiamo infatti che la dimensione di $\U(N)$ è $N^2$, mentre la dimensione di $\SO(M)$ è $M(M-1)/2$, per cui la dimensione di $\SO(2N)$ è $N(2N-1)$. È facile mostrare che per $N \geq 2$ abbiamo $N^2 < N(2N-1)$.