La famosa funzione scalino, detta anche funzione di Heaviside, è la seguente:
$$H(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$$
La sua trasformata di Fourier non è banale da calcolare. Abbiamo
$$\widetilde{H}(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ikx} H(x)$$
Il problema con questa definizione è che la trasformata di Fourier non è ben definita perché la funzione scalino non tende a zero all’infinito. Dobbiamo perciò trovare una maniera di regolarizzarla. La soluzione, comune in fisica, è di definire
$$H_{\alpha}(x) = \begin{cases} e^{-\alpha x} & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$$
La funzione $H_{\alpha}$ tende a zero all’infinito per ogni $\alpha > 0$ e quindi ha una trasformata di Fourier ben definita. Inoltre $\lim_{\alpha \to 0} H_{\alpha}(x)=H(x)$. Possiamo perciò definire la trasformata di Fourier di $H$ come la trasformata di $H_{\alpha}$ in cui alla fine facciamo tendere $\alpha \to 0$. Abbiamo perciò
\begin{align*}
\widetilde{H}_\alpha(k) &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ikx} H_\alpha(x)=\\
&=\int_{0}^{+\infty} e^{-(ik+\alpha)x}=\\
&=-\frac{1}{ik+\alpha} e^{-(ik+\alpha)x} \bigg\lvert_{x=0}^\infty =\frac{1}{ik+\alpha}
\end{align*}
Ora possiamo prendere il limite per $\alpha \to 0$. Per ogni $k \neq 0$ il limite è $\frac{1}{ik}$, mentre per $k = 0$ il limite è infinito. Abbiamo già visto questo fenomeno quando abbiamo dimostrato il teorema di Sokhotski–Plemelj, dove abbiamo dimostrato che in un senso preciso
$$\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{ik + \alpha} = \lim_{\alpha \to 0} -i\frac{1}{(k -i\alpha)} = \pi \delta(k) +\frac{1}{i k}$$
Per $k \neq 0$ questa formula è d’accordo con il limite ingenuo. Per $k=0$ il secondo termine va interpretato come valore principale, per cui è zero (essendo $1/k$ una funzione dispari); il primo termine invece è appunto infinito e il prefattore può essere ottenuto calcolando l’integrale di $\frac{1}{ik + \alpha}$ per $-\infty <k< +\infty$, il cui risultato è $\pi$, indipendente da $\alpha$. Per cui in totale abbiamo
$$\widetilde{H}(k) = \pi \delta(k) +\frac{1}{i k}$$