In questa serie di articoli calcoliamo l’anomalia chirale in $1+1$ dimensioni utilizzando la regolarizzazione tramite funzione zeta. Nel precedente articolo, abbiamo visto che è sufficiente calcolare
$$\fdv{\log{\det{\Omega}}}{\alpha}\bigg\lvert_{\alpha=0}= \dv{}{s} \bigg\lvert_{s=0}\partial_\mu\fdv{\zeta(s)}{Q_\mu}\bigg\lvert_{Q=0}$$
per cui abbiamo trovato la formula
$$\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu(w)} =- s \sum_n\frac{1}{\Lambda_n^{s+1}} \int d^2 z\,\phi_n(z)^\dagger \fdv{\Omega}{Q^\mu(w)} \phi_n(z)$$
Ora possiamo procedere al calcolo esplicitando $\Omega$, per cui avevamo con $Q_\mu = \partial_\mu \alpha$:
$$\Omega = -\pqty{\not D +i Q_\mu \gamma_\mu \gamma_5}^2$$
Poiché $\Omega$ agisce su $\phi_n(z)$, in $\Omega$ le derivate sono rispetto a $z$ e le funzioni sono funzioni di $z$. Perciò
\begin{align*}
\fdv{\Omega}{Q^\mu(w)} &= -i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5 \pqty{\not D +i Q_\nu \gamma_\nu \gamma_5}-\pqty{\not D +i Q_\nu \gamma_\nu \gamma_5}i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5=\\
&= -i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5 \not D-\not D i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5+\delta(z-w)Q_\nu\pqty{\gamma_\mu \gamma_5 \gamma_\nu \gamma_5+ \gamma_\nu \gamma_5 \gamma_\mu \gamma_5}=\\
&= -i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5 \not D-\not D i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5-2\delta(z-w)Q_\mu
\end{align*}
La delta esce fuori perché appunto $\fdv{Q^\mu(z)}{Q^\nu(w)}=\delta^{\mu}_{\nu}\delta(z-w)$. L’ultimo passaggio segue perché $\gamma_5$ anticommuta con $\gamma_\mu$ e $\gamma_5^2=1$. Ora nell’integrale la seconda ${\not D}$ agisce sia sulla delta che su $\varphi_n(z)$, per cui ci troviamo a calcolare la derivata di una funzione delta. Ciò si può fare integrando per parti dopo aver sostituito nell’integrale
\begin{align*}
&\int d^2 z\,\phi_n(z)^\dagger \fdv{\Omega}{Q^\mu(w)} \phi_n(z)=\\
&=\int d^2 z\,\phi_n(z)^\dagger \bqty{-i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5 \not D-\not D i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5-2\delta(z-w)Q_\mu }\phi_n(z)=\\
&=-\phi_n(w)^\dagger \bqty{i \gamma_\mu \gamma_5 \not D+2Q_\mu} \phi_n(w)-\int d^2 z\,\phi_n(z)^\dagger \gamma_\nu (\partial_\nu-ieA_\nu) i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5\phi_n(z)=\\
&=-\phi_n(w)^\dagger \bqty{i \gamma_\mu \gamma_5 \not D+2Q_\mu} \phi_n(w)-\int d^2 z\, (-\partial_\nu \phi_n(z)^\dagger-ieA_\nu \phi_n(z)^\dagger) \gamma_\nu i \delta(z-w)\gamma_\mu \gamma_5\phi_n(z)=\\
&=\phi_n(w)^\dagger \bqty{-i \gamma_\mu \gamma_5 \not D+\overleftarrow{\not D}i \gamma_\mu \gamma_5-2Q_\mu} \phi_n(w)
\end{align*}
dove $\phi_n(w)^\dagger\overleftarrow{\not D} \equiv \pqty{\partial_\nu \phi_n(w)^\dagger+ieA_\nu \phi_n(z)^\dagger} \gamma_\nu$, cioè $\overleftarrow{\not D}$ agisce solo a destra. Dalla seconda alla terza riga abbiamo esplicitato la prima e la terza funzione delta, cioè quelle fuori da una derivata; abbiamo inoltre esplicitato il ${\not D}$ che agisce sulla delta dentro l’ultimo integrale. Dalla terza alla quarta riga abbiamo integrato per parti, cambiando il segno della derivata e facendo attenzione che $\gamma_\nu$ rimanga a destra di $\varphi_n(z)^\dagger$. A questo punto la delta è libera e l’abbiamo esplicitata andando nell’ultima riga. Ora sostituendo nella formula sopra,
$$\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu(w)} =-s \sum_n\frac{1}{\Lambda_n^{s+1}} \phi_n(w)^\dagger \bqty{-i\gamma_\mu \gamma_5 \not D +i \overleftarrow{\not D} \gamma_\mu \gamma_5-2Q_\mu}\phi_n(w)$$
Per cui per $Q=0$ le quantità riferite a $\Omega$, cioè $\Lambda_n$ e $\phi_n$, si riducono a quelle per $-{\not D}^2$, cioè $\lambda_n$ e $\varphi_n$:
$$\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu(x)}\bigg\lvert_{Q=0}=-s \sum_n\frac{1}{\lambda_n^{s+1}} \varphi_n(x)^\dagger \bqty{-i\gamma_\mu \gamma_5 \not D +i \overleftarrow{\not D} \gamma_\mu \gamma_5}\varphi_n(x)$$
dove abbiamo anche rimpiazzato $w$ con $x$ perché è più chiaro. Ora applichiamo una derivata parziale $\partial_\mu$ in entrambi i lati. Calcoliamo quindi il primo termine a destra:
\begin{align*}
\partial_\mu\pqty{\varphi_n^\dagger \gamma_\mu \gamma_5 \not D \varphi_n}&=\pqty{\partial_\mu\varphi_n^\dagger} \gamma_\mu \gamma_5 \not D \varphi_n+\varphi_n^\dagger \gamma_\mu \gamma_5 \partial_\mu\pqty{\not D \varphi_n}=\\
&=\pqty{\partial_\mu\varphi_n^\dagger} \gamma_\mu \gamma_5 \not D \varphi_n-\varphi_n^\dagger \gamma_5 \gamma_\mu \pqty{\partial_\mu-ieA_\mu+ieA_\mu}\pqty{\not D \varphi_n}=\\
&=\pqty{\partial_\mu\varphi_n^\dagger} \gamma_\mu \gamma_5 \not D \varphi_n-\varphi_n^\dagger \gamma_5 {\not D}^2 \varphi_n+\varphi_n^\dagger \gamma_\mu \gamma_5 ieA_\mu \not D \varphi_n=\\
&=\varphi_n^\dagger \overleftarrow{\not D}\gamma_5 \not D \varphi_n-\varphi_n^\dagger \gamma_5 {\not D}^2 \varphi_n
\end{align*}
Nell’ultimo passaggio abbiamo messo insieme il primo e il terzo termine per formare la derivata covariante che agisce a sinistra. Possiamo anche calcolare il secondo termine (o addirittura indovinarlo per simmetria), che è
$$\partial_\mu\pqty{\varphi_n^\dagger \overleftarrow{\not D} \gamma_\mu \gamma_5 \varphi_n} = -\varphi_n^\dagger \overleftarrow{\not D} \gamma_5 \not D \varphi_n(x)+\varphi_n^\dagger \overleftarrow{{\not D}^2} \gamma_5 \varphi_n$$
Per cui sostituendo abbiamo
$$\partial_\mu\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu}\bigg\lvert_{Q=0}=is \sum_n\frac{1}{\lambda_n^{s+1}} \varphi_n^\dagger \bqty{-\overleftarrow{{\not D}^2} \gamma_5+2\overleftarrow{\not D} \gamma_5 \not D-\gamma_5 {\not D}^2}\varphi_n$$
Sappiamo che $-{\not D}^2\varphi_n = \lambda_n \varphi_n$. Prendendo il coniugato hermitiano di questa equazione, solo rispetto agli indici spinoriali, otteniamo inoltre $-\varphi_n^\dagger \overleftarrow{{\not D}^2} =\lambda_n \varphi_n^\dagger$. Resta da occuparsi del termine centrale. Per trattarlo, lo scriviamo esplicitamente e ne calcoliamo la trasformata di Fourier. Troveremo che $\mathcal{F}\pqty{\varphi_n^\dagger\overleftarrow{\not D} \gamma_5 \not D\varphi_n} = \mathcal{F}\pqty{-\varphi_n^\dagger\gamma_5 {\not D}^2\varphi_n}$ e pertanto anche $\varphi_n^\dagger\overleftarrow{\not D} \gamma_5 \not D\varphi_n^\dagger = \lambda_n\varphi_n^\dagger \gamma_5 \varphi_n$. Pertanto abbiamo
$$\partial_\mu\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu(x)}\bigg\lvert_{Q=0}=4is \sum_n\frac{1}{\lambda_n^{s}} \varphi_n(x)^\dagger \gamma_5\varphi_n(x)$$
Questa formula è particolarmente interessante perché ci ha permesso di eliminare completamente ogni riferimento a $\Omega$: ovvero tutte le quantità si riferiscono a $-{\not D}^2$, che è ben più facile da trattare. Nei prossimi articoli completeremo i calcoli, mostrando che è possibile finire il calcolo anche senza conoscere i $\lambda_n$.