In questa serie di articoli calcoliamo l’anomalia chirale in $1+1$ dimensioni utilizzando la regolarizzazione tramite funzione zeta. Nel precedente articolo abbiamo visto che il Jacobiano della trasformazione assiale è dato da
$$\log{J[\alpha]} = -\frac12 \int d^2 x\, \alpha(x) \fdv{\log{\det{\Omega}}}{\alpha}\bigg\lvert_{\alpha=0} +\mathcal{O}(\alpha)^2$$
dove il determinante dell’operatore $\Omega = -\pqty{\not D + i \partial_\mu \alpha \gamma^\mu \gamma_5}^2$ è definito tramite la funzione zeta, cioè
$$\log{\det{\Omega}} \equiv -\dv{}{s} \zeta(s)\bigg\lvert_{s=0}$$
La funzione $\zeta$ è data da $\zeta(s) = \sum_n \Lambda_n^{-s}$ e i $\Lambda_n$ sono gli autovalori di $\Omega$. Come dicevamo, in questo caso non siamo in grado di individuare direttamente gli autovalori di $\Omega$. Riusciremo comunque ad estrarre il determinante con un metodo inventato da Stephen Hawking.
Poiché $\Omega$ dipende da $\alpha$ solo tramite $\partial_\mu\alpha$ scriviamo $Q_\mu = \partial_\mu \alpha$. A questo punto la derivata funzionale è data da:
$$\fdv{\log{\det{\Omega}}}{\alpha}= \pdv{\log{\det{\Omega}}}{\alpha}-\partial_\mu \fdv{\log{\det{\Omega}}}{\partial_\mu\alpha}$$
dove nella derivata parziale $\alpha$ è considerato indipendente dalle sue derivate (pensiamo alle equazioni di Eulero-Langrange). Poiché $\Omega$ non dipende direttamente da $\alpha$ ma solo dalla sua derivata, il primo termine è nullo, e quindi in termini di $Q$,
$$\fdv{\log{\det{\Omega}}}{\alpha} =-\partial_\mu \fdv{\log{\det{\Omega}}}{Q_\mu}$$
Il determinante è definito tramite la funzione zeta, per cui alla fine ci interesserà calcolare
$$\fdv{\log{\det{\Omega}}}{\alpha}\bigg\lvert_{\alpha=0}= \dv{}{s} \bigg\lvert_{s=0}\partial_\mu\fdv{\zeta(s)}{Q_\mu}\bigg\lvert_{Q=0}$$
Ora vediamo come calcolare il membro destro. Per $Q=0$ l’operatore $\Omega$ si riduce a $-\not D^2$. Perciò chiamiamo $\phi_n$ gli autovettori di $\Omega$ con autovalore $\Lambda_n$:
$$\Omega \phi_n = \Lambda_n \phi_n$$
Chiamiamo inoltre $\varphi_n$ gli autovettori di $-\not D^2$ con autovalori $\lambda_n$:
$$-\not D^2 \varphi_n = \lambda_n \varphi_n$$
Possiamo suppore che gli autovettori siano ortonormali; ciò è vero per $\not D^2$ perché è hermitiano, e possiamo supporre che sia vero per $\Omega$ a meno di $\mathcal{O}(\alpha)$.
L’idea per procedere nonostante l’ignoranza dei $\Lambda_n$ è di costruire il “nucleo del calore”
$$G(x,y,\tau)_{\alpha\beta} = \sum_n e^{-\Lambda_n \tau} \phi_{n\alpha}(x) \phi_{n\beta}^\dagger(y)$$
dove $\alpha$ e $\beta$ sono indici spinoriali. $G$ prende il suo nome dal fatto che soddisfa l’equazione del calore per l’operatore $\Omega$,
$$\pqty{\Omega + \pdv{}{\tau}} G(x,y,\tau) =0$$
con condizioni iniziali $G(x,y,0)=\delta(x,y)$, dove $\Omega$ agisce sul primo argomento di $G$, cioè $x$. Queste due cose sono facilmente dimostrabili dalla definizione di $G$, utilizzando se necessario l’ortonormalità delle $\phi$. Da $G$ è possibile ottenere $\zeta$ utilizzando la trasformata di Mellin,
$$\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int d\tau\, \tau^{s-1} \int d^2 x\, \mathrm{tr} G(x,x,\tau)$$
dove la traccia è presa solo sopra gli indici spinoriali. Per dimostrare questa formula, sostituiamo la definizione di $G$ ed effettuiamo l’integrale su $\tau$ utilizzando il fatto che $\lambda^{-s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty d\tau\, \tau^{s-1} e^{-\lambda \tau}$ (la cui dimostrazione segue semplicemente sostituendo $\tau \to \tau/\lambda$ e utilizzando la definizione integrale della funzione gamma). A questo punto basta utilizzare l’ortonormalità delle $\phi_n$. Possiamo quindi calcolare la derivata funzionale rispetto a $Q^\mu$:
$$\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu(w)} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int d\tau\, \tau^{s-1} \int d^2 x\, \mathrm{tr}\fdv{G(x,x,\tau)}{Q^\mu(w)}$$
Applicando la stessa derivata funzionale all’equazione del calore otteniamo:
$$\pqty{\Omega + \pdv{}{\tau}} \fdv{G(x,y,\tau)}{Q^\mu(w)} = -\fdv{\Omega}{Q^\mu(w)} G(x,y,\tau)$$
con condizione iniziale $\fdv{G(x,x,0)}{Q^\mu(w)}=0$. Quest’ultima equazione ha una soluzione implicita,
$$\fdv{G(x,y,\tau)}{Q^\mu(w)} = -\int d^2 z\, \int_0^\tau d\tau’\, G(x,z,\tau-\tau’) \fdv{\Omega}{Q^\mu(w)} G(z,y,\tau’)$$
La verifica è molto facile, basta derivare rispetto a $\tau$ tramite la regola di Leibniz per gli integrali, e poi utilizzare l’equazione del calore e la condizione iniziale per $G$. Da quest’ultima formula, ponendo $x=y$ e integrando su $x$ otteniamo
$$\mathrm{tr}\int d^2 x\,\fdv{G(x,x,\tau)}{Q^\mu (w)} = -\mathrm{tr}\int d^2 x\, \int d^2 z\, \int_0^\tau d\tau’\, G(x,z,\tau-\tau’) \fdv{\Omega}{Q^\mu (w)} G(z,x,\tau’)$$
A questo punto espanendo la definizione di $G$ otteniamo
$$\mathrm{tr}\int d^2 x\,\fdv{G(x,x,\tau)}{Q^\mu (w)} = -\int d^2 z\, \int_0^\tau d\tau’\, \sum_{n,m} e^{-\Lambda_n(\tau-\tau’)-\Lambda_m \tau’} \mathrm{tr}\pqty{\phi_n(z)^\dagger \fdv{\Omega}{Q^\mu (w)} \phi_m(z) \int d^2 x\, \phi_m(x)^\dagger \phi_n(x)}$$
dove abbiamo usato la proprietà ciclica della traccia. L’ultimo integrale è uguale a $\delta_{nm}$ per l’ortonormalità delle $\phi_n$ e quindi,
$$\mathrm{tr}\int d^2 x\,\fdv{G(x,x,\tau)}{Q^\mu (w)} = -\tau \sum_{n} e^{-\Lambda_n\tau} \int d^2 z\,\phi_n(z)^\dagger \fdv{\Omega}{Q^\mu (w)} \phi_n(z)$$
dove $\pqty{\int_0^\tau d\tau’}=\tau$ perché ormai non c’è più nulla che dipenda da $\tau’$. Abbiamo rimosso la traccia perché l’espressione è uno scalare e non ce n’è più bisogno. Sostituendo nella formula per $\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu (w)}$ otteniamo
$$\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu(w)} =- s \sum_n\frac{1}{\Lambda_n^{s+1}} \int d^2 z\,\phi_n(z)^\dagger \fdv{\Omega}{Q^\mu(w)} \phi_n(z)$$
dove abbiamo usato di nuovo $\lambda^{-s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty d\tau\, \tau^{s-1} e^{-\lambda \tau}$ e il fatto che $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$.
Nel prossimo articolo procederemo con il calcolo esplicitando $\Omega$ e massaggiando ulteriormente la formula sopra.