Abbiamo visto a grandi linee che nel modello di Schwinger la simmetria assiale è anomala, cioè è violata da effetti quantistici. Ora vediamo di calcolare esplicitamente l’anomalia utilizzando la regolarizzazione tramite funzione zeta, di cui abbiamo già parlato. Poiché il calcolo è parecchio lungo e complesso, lo spezziamo in più articoli. Rimandiamo all’articolo di prima per le convenzioni e l’impostazione.
Il Jacobiano
Per calcolare l’anomalia, ci serve calcolare il membro destro di $\partial_\mu J_5^\mu$, che non sarà più zero. Per fare ciò usiamo la stessa strategia che usiamo per il teorema di Noether classico, cioè facciamo variare la trasformazione nello spazio e nel tempo, $\alpha \to \alpha(x)$. Ovvero
$$\psi \to e^{i \alpha(x) \gamma^5} \psi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\bar{\psi} \to \bar{\psi} e^{i \alpha(x) \gamma^5}$$
In questa maniera né l’azione né la misura saranno più invarianti. La misura trasformerà in una qualche maniera,
$$D\bar{\psi}’ D\psi’ = J[\alpha] D\bar{\psi} D\psi$$
dove $J[\alpha]$ è il Jacobiano della trasformazione. Possiamo anche calcolare come varia la parte fermionica dell’azione,
$$\bar{\psi}’ {\not D}\psi’ = \bar{\psi} {\not D}\psi + (\partial_\mu \alpha) i \bar{\psi} \gamma^\mu \gamma_5 \psi$$
dove tutte le quantità sono Euclidee. Consideriamo ora solo la parte fermionica dell’integrale sui cammini e rimpiazziamo $\psi \to \psi’$, $\bar{\psi} \to \bar{\psi}’$:
$$\int D\psi’ D\bar{\psi}’\,\, \exp{\bqty{-\int d^2x \pqty{\bar{\psi’} {\not D}\psi’}}}$$
Possiamo calcolare questa quantità in due modi. In primo luogo poiché stiamo integrando tutto su quantità con il primo, abbiamo semplicemente il determinante fermionico
$$\int D\psi’ D\bar{\psi}’\,\, \exp{\bqty{-\int d^2x \pqty{\bar{\psi’} {\not D}\psi’}}} = \det{{\not D}}$$
D’altra parte, possiamo usare la definizione della trasformazione assiale, ottenendo
$$\int D\psi’ D\bar{\psi}’\,\, \exp{\bqty{-\int d^2x \pqty{\bar{\psi’} {\not D}\psi’}}} =\\
=J[\alpha]\int D\psi D\bar{\psi}\,\, \exp{\bqty{-\int d^2x \bar{\psi} \pqty{ {\not D + i \partial_\mu \alpha \gamma^\mu \gamma_5}}\psi}}=\\
=J[\alpha] \det{\pqty{{\not D + i \partial_\mu \alpha \gamma^\mu \gamma_5}}}$$
Per cui confrontando le due espressioni troviamo
$$J[\alpha] = \frac{\det{{\not D}}}{\det{\pqty{{\not D + i \partial_\mu \alpha \gamma^\mu \gamma_5}}}}$$
Vogliamo calcolare questo termine utilizzando la regolarizzazione tramite funzione $\zeta$. Per applicare questa tecnica, tuttavia, ci serve che l’operatore di cui calcoliamo il determinante sia positivo, cioè deve avere autovalori positivi. Ciò non è il caso né per il numeratore né per il denominatore. Perciò prima di procedere dobbiamo effettuare qualche manipolazione.
Sappiamo che il momento è hermitiano, $(i\partial_\mu)^\dagger = i \partial_\mu$, per cui $(\partial_\mu)^\dagger = -\partial_\mu$ e pertanto $D_\mu^\dagger = -D_\mu$. Abbiamo scelto una convenzione per cui $(\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^\mu$ e per cui $\not D$ è antihermitiano, ${\not D}^\dagger = -{\not D}$. Tuttavia, possiamo mostrare che è “$\gamma_5-$hermitiano”, nel senso che
$$\pqty{\gamma_5 {\not D}}^\dagger =\gamma_5 {\not D}$$
Ciò implica che ${\not D}^\dagger = \gamma_5 {\not D} \gamma_5$ e pertanto
$$\pqty{\det{{\not D}}}^* = \det{{\not D}^\dagger}=\det{\pqty{\gamma_5 {\not D} \gamma_5}} = \det{{\not D}}$$
Perciò in particolare $\det{{\not D}}$ è reale, e quindi
$$\det{{\not D}} = \bqty{\det{{\not D}} \det{{\not D}^\dagger}}^{1/2} = \bqty{\det{{\pqty{-\not D^2}}}}^{1/2}$$
Possiamo fare un simile giochetto con il denominatore. Scrivendo $M(\alpha) = \not D + i \partial_\mu \alpha \gamma^\mu \gamma_5$ un calcolo esplicito mostra che $\pqty{\gamma_5 M(\alpha)}^\dagger = \gamma_5 M(-\alpha)$. In maniera simile a sopra, ciò implica che $\det{M(\alpha)} = \det{M(-\alpha)^\dagger}$. Pertanto
\begin{align*}
\det{\pqty{\not D + i \partial_\mu \alpha \gamma^\mu \gamma_5}} &= \bqty{\det{\pqty{\not D + i \partial_\mu \alpha \gamma^\mu \gamma_5}} \det{\pqty{-\not D -i \partial_\mu \alpha \gamma^\mu \gamma_5}} }^{1/2}\equiv \bqty{\det{\Omega}}^{1/2}
\end{align*}
dove appunto $\Omega$ è l’operatore dentro al determinante,
$$\Omega=-\pqty{\not D + i \partial_\mu \alpha \gamma^\mu \gamma_5}^2$$
Mettendo insieme le due cose, troviamo
$$\log{J[\alpha]} = -\frac12 \bigg(\log{\det{\Omega}} -\log{\det{\pqty{-\not D^2}}}\bigg)$$
Possiamo quindi espandere il primo termine in una “serie di Taylor funzionale” con parametro $\alpha$ attorno a $-\not D^2$. In altre parole, effettuiamo il calcolo per $\alpha$ infinitesimale, che con un trucco sarà poi sufficiente per il caso $\alpha$ finito. Otteniamo:
$$\log{J[\alpha]} = -\frac12 \int d^2 x\, \alpha(x) \fdv{\log{\det{\Omega}}}{\alpha}\bigg\lvert_{\alpha=0} +\mathcal{O}(\alpha)^2$$
Per capire come mai compare l’integrale, ricordiamo la formula dell’espansione di Taylor per una funzione a più variabili, $f(a+x) = f(a) + \sum_i x^i \partial_i f(a)+\cdots$. Nel caso di un funzionale, la variabile $x$ diventa una funzione (in questo caso $\alpha$), che può essere vista come un’infinità continua di parametri $\alpha(x)$ per ogni possibile valore di $x$, che è in questo caso l’analogo dell’indice $i$ nella formula per una funzione a più variabili. Ora sommiamo quindi su tutti i valori di $x$, che formano un continuo, e perciò la somma diventa un’integrale.
Una volta ottenuta quest’ultima formula, si tratta di calcolare il determinante di $\Omega$ utilizzando la regolarizzazione tramite funzione $\zeta$:
$$\log{\det{\Omega}} \equiv -\dv{}{s} \zeta(s)\bigg\lvert_{s=0}$$
dove la funzione $\zeta$ è data da $\zeta(s) = \sum_n \Lambda_n^{-s}$ e i $\Lambda_n$ sono gli autovalori di $\Omega$. Il problema qui è che non siamo in grado di trovare esplicitamente gli autovalori di $\Omega$. Come vedremo nei prossimi articoli, nonostante questo ostacolo saremo comunque in grado di effettuare il calcolo che ci serve.