L’argomentazione di Dyson, proposta appunto da Freeman Dyson, mostra che le espansioni in serie della teoria quantistica dei campi non possono essere convergenti.
In particolare, consideriamo l’esempio dell’elettrodinamica quantistica. Possiamo calcolare una certa quantità fisica, diciamo $G$, e questa sarà data in potenze della costante di accoppiamento $\alpha = e^2/4\pi$ in unità appropriate, anche detta costante di struttura fine. In altri termini, possiamo calcolare vari diagrammi di Feynmann in linea di principio ad ogni ordine, e sommarli ottenendo una serie del tipo
$$G(e^2) = c_0 + c_1 e^2 + c_2 e^4 + \cdots$$
Ingenuamente, potremmo pensare che la serie sia convergente: cioè aggiungendo più e più termini la precisione dell’approssimazione migliori sempre di più. L’argomentazione di Dyson mostra che ciò non può essere vero.
L’idea fondamentale è che una serie di potenze $\sum_n c_n x^n$ ha un raggio di convergenza. Cioè converge per $\abs{x} < R$ e diverge per $\abs{x} > R$. Abbiamo visto questo fatto e le sue conseguenze già in un altro articolo. Ad esempio ciò significa che se la serie converge per $x=1$, allora necessariamente converge anche per $x=0.5$, e forse inaspettatamente, anche per $x=-0.7$ e più in generale per tutti gli $\abs{x} < 1$.
Ora consideriamo la serie $G(e^2) = \sum_n c_n (e^2)^n$ come funzione di $e^2$. Supponiamo che questa sia convergente per un qualche valore di $e^2 > 0$. Allora ha un raggio di convergenza positivo, e quindi convergerà anche per un qualche valore negativo $\widetilde{e}^2 < 0$.
Tuttavia l’elettrodinamica quantistica con $e^2$ negativo è una teoria ben strana. Ad esempio la forza di Coulomb tra due elettroni è $F = e^2 / r^2$. Per $e^2 > 0$ la forza è repulsiva come al solito, mentre per $e^2 < 0$ gli elettroni sono attratti gli uni dagli altri, e al contrario elettroni e positroni si repellono a vicenda. Ora, il vuoto della teoria crea costantemente delle coppie “virtuali” di elettroni e positroni. Se $e^2 > 0$, elettroni e positroni si attraggono e quindi decadranno di nuovo nel vuoto a breve. Invece se $e^2 < 0$ invece elettroni e positroni si repellono e tenderanno a formare delle concentrazioni separate di elettroni e positroni, succhiando sempre più energia al vuoto, che è pertanto instabile.
Dato che le caratteristiche del vuoto della teoria sono diverse per $e^2 > 0$ e per $e^2 < 0$, abbiamo una transizione di fase nel punto $e^2 = 0$. Ma una transizione di fase è per definizione un punto di non-analiticità, e quindi ne segue che non è possibile che la serie per $G(e^2)$ abbia raggio di convergenza non nullo. Ciò conclude l’argomentazione.
In altre parole la serie $G(e^2) = \sum_n c_n (e^2)^n$ non è convergente, ma è solo una serie asintotica. Una serie del genere non converge all’aumentare dei termini, ma anzi diverge. Tuttavia si può in genere troncare la serie ad un numero ottimale di termini che forniscono la migliore approssimazione per la quantità che cerchiamo; aggiungendo termini ulteriori peggioreremmo solo la qualità dell’approssimazione.
Va menzionato che questa non è una dimostrazione rigorosa, ma solo un argomentazione euristica. Tuttavia il succo del discorso, cioè che le serie in teoria dei campi sono solo serie asintotiche, è poi stata confermata da vari studi matematicamente rigorosi.