Abbiamo visto in un articolo precedente come calcolare la funzione di Green per la derivata covariante fermionica $i {\not D}$, dove $D_\mu = \partial_\mu -ieA_\mu$, in due dimensioni spaziotemporali per una teoria di calibro abeliana. In quel caso siamo riusciti a ottenere una formula esplicita per la funzione di Green grazie ad alcune speciali proprietà delle due dimensioni. In questo caso ci accontenteremo di trovare una soluzione in serie.
Cerchiamo di calcolare la funzione di Green $S(x,y)$ data da
$$\pqty{i {\not D}-m} S(x,y) = \delta(x-y)$$
In questo caso, a differenza che in quello dell’articolo precedente, introduciamo anche una massa perché non fa differenza. Nel caso in cui $A=0$ l’equazione si riduce al caso dei fermioni liberi:
$$\pqty{i {\not \partial}-m} S_0(x-y) = \delta(x-y)$$
dove con queste convenzioni, troviamo facilmente
$$S_0(x-y)= \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} e^{ip(x-y)} \frac{-{\not p} +m}{p^2-m^2}$$
Per calcolare $S(x,y)$ nel caso in cui $A \neq 0$ introduciamo una serie nella carica dell’elettrone $e$, cioè scriviamo
$$S(x,y) = \sum_{n=0}^\infty e^n S_n$$
dove $S_0$, il primo termine, l’abbiamo già calcolato. Sostituendo la serie nell’equazione e facendo attenzione a cosa commuta e cosa no, abbiamo
$$\sum_{n=0}^\infty e^n\pqty{i{\not \partial}+e{\not A}-m}S_n = \delta(x-y)$$
Ora separiamo vari termini,
$$\pqty{i{\not \partial}+e{\not A}-m}S_0 + \sum_{n=1}^\infty e^n\pqty{i{\not \partial}-m}S_n + \sum_{n=1}^\infty e^n\pqty{e{\not A}}S_n = \delta(x-y)$$
Ora utilizziamo la definizione di $S_0$ per cancellare alcuni termini con la funzione delta e ridefiniamo l’indice della seconda somma nel membro sinistra,
$$e{\not A}S_0 + \sum_{n=1}^\infty e^n\pqty{i{\not \partial}-m}S_n + \sum_{n=2}^\infty e^n{\not A}S_{n-1} = 0$$
Vediamo quindi che possiamo riassorbire il termine fuori dalle somme nella seconda somma, e possiamo riscrivere il tutto come
$$\sum_{n=1}^\infty e^n \bqty{\pqty{i{\not \partial}-m}S_n +{\not A}S_{n-1}} = 0$$
Perciò otteniamo la formula ricorsiva,
$$\pqty{i{\not \partial}-m}S_n +{\not A}S_{n-1}=0$$
Questa può essere risolta utilizzando proprio l’equazione di Green per $\pqty{i{\not \partial}-m}$, per cui
$$S_n(x,y) =-\int d^4 z\, S_0(x-z){\not A}(z)S_{n-1}(z,y)$$
Da qui basta sostituire per calcolare i vari termini, cioè
$$S_1(x,y) =-\int d^4 z\, S_0(x-z){\not A}(z)S_0(z-y)$$
$$S_2(x,y) =\int d^4 z \int d^4 w\, S_0(x-z){\not A}(z)S_0(z-w){\not A}(w)S_0(w-y)$$
e così via all’infinito.