In teoria quantistica dei campi è molto utile l’integrale sui cammini:
$$Z = \int D\phi\, e^{i S[\phi]}$$
dove $\phi$ è un campo e $S[\phi]$ è l’azione. In molti casi la natura oscillatoria di $e^{i S[\phi]}$ rende difficile i calcoli: questo problema può essere risolto tramite la cosiddetta rotazione di Wick.
L’idea di base
Consideriamo la metrica di Minkowski con la convenzione $(+, -, -, -)$:
$$ds^2 = dt^2 -dx^2 -dy^2 -dz^2$$
Se permettessimo un tempo immaginario, $t = -i \tau$ (vediamo poi il perché del meno), otteniamo:
$$ds^2 = -(d\tau^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)$$
che, a meno di un segno, è la metrica euclidea. Se fossimo partiti da $(-, +, +, +)$ avremmo ottenuto $(+, +, +, +)$, che è più soddisfacente, ma alla fine dei calcoli equivalente a $(-, -, -, -)$; d’altronde anche la scelta tra $(+, -, -, -)$ e $(-, +, +, +)$ è solo una convenzione. Personalmente preferisco $(-, +, +, +)$, ma $(+, -, -, -)$ è lo standard in fisica delle particelle.
Ruotare l’integrale sui cammini
La rotazione di Wick permette di “ruotare” l’integrale sui cammini, ottenendo la versione Euclidea, che è convergente e non oscillatoria. Di qui in poi metteremo un pedice $M$ per indicare quantità nello spazio di Minkowski, e un pedice $E$ per indicare quantità Euclidee. L’obbiettivo finale è ottenere
$$Z = \int D\phi\, e^{i S_M[\phi]} = \int D\phi\, e^{-S_E[\phi]}$$
In altre parole, l’integrale sui cammini deve rimanere invariato, perché la teoria deve rimanere la stessa. Inoltre, perché l’integrale sia convergente, $S_E$ dev’essere positiva, o quantomeno limitata inferiormente. Per ottenere ciò definiamo un tempo immaginario in modo che $t_M = -i t_E$. Perciò dobbiamo avere
$$i S_M = -S_E$$
Ora, per definizione l’azione Minkowskiana è data da
$$S_M[\phi] = \int dt_M d^3 \mathbf x \mathcal{L}_M $$
Al contempo, l’azione Euclidea è per definizione
$$S_E[\phi] = \int dt_E d^3 \mathbf x \mathcal{L}_E$$
Effettuando la rotazione di Wick $t_M = -i t_E$ otteniamo
$$i S_M[\phi] = i \int d(-i t_E) d^3 \mathbf x \mathcal{L}_M = \int d t_E d^3 \mathbf x \mathcal{L}_M$$
Poiché dobbiamo avere $i S_M = -S_E$, allora segue che
$$\mathcal{L}_E = -\mathcal{L}_M$$
Questa è l’idea in teoria, ora vediamo un esempio.
Rotazione di Wick per un campo scalare
Consideriamo un esempio concreto, cioè quello di un campo scalare reale:
$$\mathcal{L}_M = \frac12 \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -V(\phi)$$
dove $V(\phi)$ è un qualche potenziale. L’unico termine che contiene esplicitamente il tempo è il termine cinetico, che contiene la derivata $\partial_0 = \pdv{}{t}$. Abbiamo quindi
$$\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi = \pqty{\pdv{\phi}{t_M}}^2 -\pqty{\nabla \phi}^2 = -\bqty{ \pqty{\pdv{\phi}{t_E}}^2 + \pqty{\nabla \phi}^2} = -\partial_\mu \phi \partial_\mu \phi$$
La differenza tra la prima espressione $\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi$ e l’ultima $\partial_\mu \phi \partial_\mu \phi$ sta nel posizionamento degli indici: nel caso di Minkowski gli indici possono essere contratti solo se sono uno in alto e l’altro in basso, mentre nel caso Euclideo la metrica è semplicemente la delta di Kronecker e quindi non fa differenza. Siamo perciò in grado di dire immediatamente che la prima espressione è ne Minkowskiana e l’ultima espressione è Euclidea. Abbiamo quindi
$$\mathcal{L}_M = -\frac12 \partial_\mu \phi \partial_\mu \phi -V(\phi)$$
Poiché $\mathcal{L}_E = -\mathcal{L}_M$, concludiamo che
$$\mathcal{L}_E = \frac12 \partial_\mu \phi \partial_\mu \phi +V(\phi)$$
Notiamo che il primo termine, quello cinetico, è una somma di quadrati e quindi è positivo, mentre il secondo termine è positivo o quantomeno limitato inferiormente perché così viene tipicamente scelto il potenziale. Concludiamo che l’azione $S_E = \int d^4 x_E\, \mathcal{L}_E$ è positiva, o limitata inferiormente, e quindi l’integrale sui cammini $\int D\phi e^{-S_E}$ è convergente.
Questioni di segni
Nel corso dell’articolo abbiamo effettuato una scelta di segno che può sembrare arbitraria ma non lo è: abbiamo cioè posto $t_M = -i t_E$, invece che $t_M = i t_E$. Vediamo perché queste scelte sono effettivamente necessarie.
Poiché nella Lagrangiana e nella metrica il tempo entra sempre in un quadrato, cioè ad esempio $dt^2$ oppure $\pqty{\pdv{\phi}{t}}^2$, in quei casi la scelta del segno è irrilevante. Tuttavia andando a calcolare l’azione Euclidea troviamo la misura $dx_0 d^3 \mathbf x$, in cui il segno ha un effetto. Rifacendo i calcoli con questa formulazione troveremmo che $\mathcal{L}_E = \mathcal{L}_M$ invece che $\mathcal{L}_E = -\mathcal{L}_M$ come avevamo visto prima. Ma come è evidente dal calcolo esplicito, in questa maniera $\mathcal{L}_E = -\frac12 \partial_\mu \phi \partial_\mu \phi -V(\phi)$ e quindi $S_E = \int d^4 x_E\, \mathcal{L}_E$ sarebbe definita negativa: l’integrale $\int D\phi e^{-S_E}$ non convergerebbe.
Questo problema non è risolto cambiando il segno di $S_E$ nell’esponenziale: anche definendo l’integrale sui cammini euclideo come $\int D\phi e^{S_E}$ (senza segno meno) dobbiamo sempre avere $t_M = -i t_E$ perché sia convergente.
Alla fin fine il punto è che ruotando la Lagrangiana di Minkowski, l’integrale risultante dev’essere convergente e ciò fissa il segno della rotazione di Wick. Ma non potremmo forse mettere un segno meno davanti alla Lagrangiana? La risposta è no. La Lagrangiana com’è ora ha la proprietà che $\mathcal{L} = \frac12 (\dot \phi)^2 +\cdots$. La trasformata di Legendre produce un’Hamiltoniana positiva $\mathcal{H} = \frac12 (\dot \phi)^2 +\cdots$, il che è un requisito fisico. Se mettessimo un segno meno nella Lagrangiana otterremmo un’Hamiltoniana negativa, il che non è ammissibile.
Perché è una rotazione
Abbiamo parlato a lungo della “rotazione” di Wick, ma non è chiaro dove sia la rotazione. L’idea è la seguente. Invece di considerare il tempo come “reale” o “immaginario”, possiamo unificare i due concetti e dire semplicemente che il tempo è un numero complesso e scrivere $t = t_1 + i t_2$.
Nell’azione di Minkowski il tempo è reale, per cui stiamo effettuando l’integrale lungo l’asse reale, $t_2=0$; nell’azione Euclidea il tempo è immaginario, per cui stiamo effettuando l’integrale lungo l’asse immaginario, $t_1=0$. I due assi sono connessi da una rotazione di $90^\circ$, che per i numeri complessi è data dalla moltiplicazione per un’esponenziale. Infatti abbiamo $t_M = e^{-i \frac{\pi}{2}} t_E$, cioè il tempo euclideo è dato da una rotazione di $90^\circ$ in senso antiorario rispetto al tempo minkowskiano. La direzione della rotazione conta: infatti corrisponde al segno meno che abbiamo visto nella sezione precedente.