In un precedente articolo abbiamo visto come utilizzare la regolarizzazione tramite funzione $\zeta$ per calcolare il determinante funzionale per l’equazione di Klein-Gordon Euclidea,
$$\det{\pqty{-\partial_\mu \partial_\mu + m^2}} = \exp{\bqty{\frac{V m^4}{16 \pi^2}\pqty{-\frac34 +\log{m}}}}$$
In questo articolo effettueremo lo stesso calcolo per dei fermioni liberi. Una volta effettuata la rotazione di Wick, il determinante fermionico è dato da
$$\int D\psi D\overline{\psi}\, e^{- \int d^2 x\, \overline{\psi} \pqty{\not{\partial} + m}\psi} = \det{\pqty{\not{\partial} + m}}$$
Per fortuna in questo caso l’intera procedura è ben più semplice. Notiamo infatti che poiché $\pqty{\partial_\mu}^\dagger = -\partial_\mu$ abbiamo $\pqty{\not{\partial}+m}^\dagger = \pqty{-{\not \partial}+m}$ poiché possiamo scegliere le matrici gamma Euclidee tutte Hermitiane. Pertanto, l’operatore commuta con il suo coniugato Hermitiano
$$[\pqty{\not{\partial}+m}^\dagger, \pqty{\not{\partial}+m}]=0$$
Inoltre abbiamo:
$$\pqty{\not{\partial}+m}^\dagger \pqty{\not{\partial}+m} = -\partial_\mu \partial_\mu + m^2$$
e quindi l’operatore di Dirac commuta con l’operatore di Klein-Gordon,
$$[\not{\partial}+m, -\partial_\mu \partial_\mu + m^2]=0$$
Per cui l’operatore di Dirac può essere diagonalizzato simultaneamente all’operatore di Klein Gordon, che fortunatamente abbiamo già diagonalizzato nello scorso articolo nella base di onde piane $e^{ikx}$. Ora scegliamo la base chirale per le matrici gamma di Minkowski, il che vuol dire per le matrici gamma Euclidee,
$$\gamma^4 = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\gamma^i = \begin{pmatrix}0 & i\sigma^i\\ -i\sigma^i & 0\end{pmatrix}$$
Quindi abbiamo
$$\not{\partial}+m=\begin{pmatrix}0 & \partial_4 +i \sigma^i \partial_i \\ \partial_4 -i \sigma^i \partial_i & 0\end{pmatrix}$$
Sulla base di autovettori $e^{ikx}$ abbiamo quindi
$$\pqty{\not{\partial}+m} e^{ikx}=\begin{pmatrix}m 1 & ik_4 -\sigma^i k_i \\ i k_4 + \sigma^i k_i & m 1\end{pmatrix} e^{ikx}$$
In linea di principio dovremmo quindi diagonalizzare questa matrice, ma poiché alla fine ci interessa solo il prodotto degli autovalori, basta calcolarne il determinante. Per una matrice a blocchi,
\begin{align*}
\det \begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix} &= \det\pqty{A D-B D^{-1} C D}=\\
&= \det\pqty{m^2 1-(ik_4 -\sigma^i k_i) (i k_4 + \sigma^j k_j)}=\\
&= \det\pqty{m^2 1 + k_4^2 1 +\sigma^i \sigma^j k_i k_j}=\\
&= \det\pqty{\pqty{m^2 + k^2}1}=\pqty{m^2 + k^2}^2\\
\end{align*}
Perciò alla fine otteniamo
$$\det{\pqty{\not{\partial} + m}}= \prod_k \pqty{m^2 + k^2}^2 = \bqty{\prod_k \pqty{m^2 + k^2}}^2 = \det{\pqty{-\partial_\mu \partial_\mu + m^2}}^2$$
Possiamo quindi importare il risultato dall’altro articolo, ottenendo
$$\det{\pqty{\not{\partial} + m}} = \exp{\bqty{\frac{V m^4}{8 \pi^2}\pqty{-\frac34 +\log{m}}}}$$