Quando si effettuano dei calcoli con l’integrale sui cammini ci si trova spesso nel bisogno di calcolare il determinante di un qualche operatore. Ad esempio, sappiamo che in numero finito di dimensioni $n$,
$$\int \frac{d^d \phi}{(2\pi)^{d/2}} e^{-\frac12 \phi \cdot A \cdot \phi} = \pqty{\det{A}}^{-1/2}$$
Allo stesso modo, se $\psi$ e $\overline{\psi}$ sono variabili di Grassmann, abbiamo
$$\int d\overline{\psi} d \psi\, e^{- \overline{\psi} M \psi} = \det{M}$$
L’integrale sui cammini altro non è che il limite per $n \to \infty$ di $n$ integrali normali, per cui queste formule valgono anche per l’integrale sui cammini, quantomeno se è possibile definire almeno nel limite il determinante di un operatore differenziale. Infatti, in questo caso, $\phi$ e $\psi$ sono dei campi, e $A$ e $M$ sono operatori differenziali.
Dato un operatore differenziale $A$, possiamo calcolarne gli autovalori, cioè risolvere l’equazione differenziale:
$$A f = \lambda f$$
Risolta almeno in linea di principio questa equazione, otteniamo come soluzioni degli autovalori $\lambda_n$ e degli autovettori $f_n$ tali che $A f_n = \lambda_n f_n$. A questo punto il determinante è dato da
$$\det{A} = \prod_n \lambda_n$$
dove gli autovalori sono presenti più di una volta se hanno moltiplicità maggiore di uno. Il problema con questa definizione è che tipicamente in questa maniera $\det{A}$ è divergente e deve quindi essere regolarizzato: qui entra in gioco la funzione $\zeta$ di Riemann. Come abbiamo già visto in un altro articolo, abbiamo
$$\log \det{A} = \mathrm{tr}\log{A}$$
Chiaramente ciò non è sufficiente a definire nulla, perché il membro destro è tanto divergente come il sinistro. Tuttavia abbiamo
\begin{align*}
\mathrm{tr} \log{A} &\equiv \sum_n \log{\lambda_n} =-\sum_n \dv{}{s} \lambda_n^{-s} \bigg\lvert_{s=0}=\\
&=-\dv{}{s} \pqty{\sum_n \lambda_n^{-s}} \bigg\lvert_{s=0}= -\dv{}{s} \mathrm{tr}\pqty{A^{-s}} \bigg\lvert_{s=0}
\end{align*}
Si chiama regolarizzazione tramite funzione $\zeta$ perché $\mathrm{tr}A^{-s} = \sum_n \frac{1}{\lambda_n^s}$ è una generalizzazione della funzione $\zeta$ di Riemann. Questa sequenza di passaggi non è tecnicamente lecita, perché abbiamo scambiato una derivata con una somma infinita; perciò è possibile, con questa definizione, che le divergenze siano sparite. Abbiamo quindi:
$$\log \det{A} = -\dv{}{s} \mathrm{tr}\pqty{A^{-s}} \bigg\lvert_{s=0}$$
In linea di principio è possibile esprimere $\mathrm{tr}\pqty{A^{-s}}$ in maniera gestibile, e di qui calcolare il determinante. Perché questo metodo funzioni, è cruciale che l’operatore $A$ sia positivo, cioè deve avere tutti gli autovalori positivi: altrimenti non ha senso calcolarne il logaritmo.
Esempio: l’operatore di Klein-Gordon Euclideo
Come esempio di applicazione della tecnica, calcoliamo il determinante dell’operatore di Klein-Gordon Euclideo. Il fatto che sia Euclideo non è un problema, dato che nell’integrale sui cammini dobbiamo sempre effettuare una rotazione di Wick per ottenere risultati sensati.
In questo caso abbiamo quindi $A = -\partial_\mu\partial_\mu + m^2$. Dove $\partial_\mu\partial_\mu$ è il Laplaciano in quattro dimensioni, dato che la somma è Euclidea. Le autofunzioni sono semplicemente le onde piane, $f_k = e^{ikx}$ con autovalori $\lambda_k = k^2+m^2$. Poiché sono continui, dobbiamo rimpiazzare le somme con integrali, $\sum_n \to V \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}$. Pertanto abbiamo
$$\mathrm{tr}\pqty{A^{-s}}=V \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} (m^2+k^2)^{-s}$$
A questo punto possiamo effettuare tutte le integrazioni angolari, ottenendo l’area della $3-$sfera, $2\pi^2$:
$$\mathrm{tr}\pqty{A^{-s}}=V \frac{2\pi^2}{(2\pi)^4} \int_0^\infty dk\, \frac{k^3}{(m^2+k^2)^{s}} = V \frac{1}{8 \pi^2} m^{4-2s}\int_0^\infty dt\, \frac{t^3}{(1+t^2)^{s}} $$
dove abbiamo posto $k=mt$ nell’ultima riga. Quest’ultimo integrale è elementare, ma lo facciamo fare a Wolfram Alpha, ottenendo
$$\mathrm{tr}\pqty{A^{-s}}= \frac{V m^{4-2s}}{8 \pi^2} \frac{1}{2s^2-6s+4} $$
Possiamo quindi calcolare la derivata, ottenendo
$$\dv{}{s} \mathrm{tr}\pqty{A^{-s}} \bigg\lvert_{s=0} = -\frac{V m^4}{16 \pi^2}\pqty{-\frac34 +\log{m}}$$
E quindi in definitiva
$$\det{\pqty{-\partial_\mu \partial_\mu + m^2}} = \exp{\bqty{\frac{V m^4}{16 \pi^2}\pqty{-\frac34 +\log{m}}}}$$
L’essenza della regolarizzazione sta nel calcolo dell’integrale. Come ci avvisa WolframAlpha, l’integrale converge solo se $\mathrm{Re} s > 2$. Tuttavia il risultato finale è regolare in tutto il piano complesso tranne per due poli in $s=1,2$ e quindi in particolare è regolare vicino a $s=0$, dove ci interessa calcolare la derivata. Questa operazione è chiamata prolungamento analitico.