Abbiamo visto il teorema di Lagrange, che ha come corollario la proposizione secondo cui se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora l’ordine di $H$ divide l’ordine di $G$. Tuttavia, non è detto che valga il contrario: ad esempio il gruppo $A_5$ ha ordine $5!/2=60$, eppure, nonostante $30$ divida $60$, $A_5$ non ha nessun sottogruppo di ordine $30$. Il teorema di Cauchy è molto utile perché ci permette immediatamente di sapere che un gruppo deve avere elementi di un certo ordine:
Teorema di Cauchy. Se $p$ è un numero primo che divide l’ordine di $G$, allora $G$ contiene un elemento di ordine $p$.
Dimostrazione. Dimostriamo per induzione sull’ordine del gruppo. Fissiamo un certo numero primo $p$ e dimostriamo per induzione considerando tutti i gruppi il cui ordine è diviso da $p$. Prima di tutto consideriamo solo i gruppi abeliani, per cui la dimostrazione è più semplice. Poi, utilizzando questo primo risultato, considereremo quello generale.
Partiamo dal caso abeliano. L’induzione parte dal gruppo di ordine $p$, il più piccolo di ordine divisibile da $p$. Poiché il suo ordine è primo, è ciclico. Poiché è ciclico, è anche abeliano e contiene banalmente un elemento di ordine $p$. Ora procediamo con l’ipotesi induttiva: sia $G$ un gruppo abeliano tale che $p$ divida $|G|$, e supponiamo che la tesi valga per tutti i gruppi abeliani di ordine inferiore a $|G|$ tali che $p$ divida il loro ordine. Sia $g \in G$ un elemento diverso dall’identità e $\langle g\rangle$ il sottogruppo ciclico da esso generato, di ordine $|g|$. Se $p$ divide $|g|$, allora $g^{(|g|/p)}$ ha ordine $p$ e abbiamo concluso. Se invece $p$ non divide $|g|$ allora consideriamo il quoziente $G/\langle g\rangle$. Poiché $G$ è abeliano tutti i suoi sottogruppi sono normali, quindi $G/\langle g\rangle$ è un gruppo, ed è abeliano perché $G$ è abeliano. Inoltre $|G/\langle g\rangle| = |G|/|g|$ e poiché $p$ è primo, se non divide $|g|$, allora poiché divide $|G|$ allora divide anche $|G/\langle g\rangle|$. Ma l’ordine di $G/\langle g\rangle$ è minore dell’ordine di $G$ e quindi segue dall’ipotesi induttiva che $G/\langle g\rangle$ ha un elemento di ordine $p$. Chiamiamo questo elemento $x\langle g\rangle$. Allora $x^p \langle g\rangle =\pqty{x \langle g\rangle}^p= \langle g\rangle$. Inoltre se $m$ è l’ordine di $x$ in $G$, allora $x^m = e$ e quindi $x^m \langle g\rangle = \langle g\rangle$. Ma l’ordine di $x \langle g\rangle$ è $p$, per cui $p$ divide $m$. Segue quindi che $x^{m/p}$ è un elemento di ordine $p$.
Ora passiamo al caso non abeliano, sempre per induzione. Consideriamo il centro $Z(G)$, che è un gruppo abeliano. Se $p$ divide $|Z(G)|$ allora per il caso abeliano $Z(G)$ contiene un elemento di ordine $p$ e quindi $G$ contiene un elemento di ordine $p$. Se invece $p$ non divide $|Z(G)|$ allora poiché le classi di coniugio partizionano $G$, abbiamo:
$$|G| = |Z(G)| + \sum_i |G : C_G(i)|$$
dove la somma è sulle classi di coniugio. Ogni elemento del centro forma una classe a sé, e la grandezza della classe $i$ è $|G : C_G(i)|$ per il teorema orbita-stabilizzatore, dove $C_G(i)$ è il centralizzatore della classe $i$, un sottogruppo normale. Poiché $p$ divide $|G|$ ma non $|Z(G)|$, allora esiste un $i$ tale che $p$ non divide $|G : C_G(i)|$. Ma sappiamo che $|G| = |C_G(i)| |G : C_G(i)|$, per cui $p$ divide $|C_G(i)|$. Inoltre sappiamo che $|C_G(i)| \neq |G|$, altrimenti la classe sarebbe nel centro. Per cui $C_G(i)$ ha ordine minore di quello di $G$ e quindi per l’ipotesi induttiva $G/C_G(i)$ ha un elemento di ordine $p$. Per la stessa argomentazione del caso precedente $G$ contiene quindi un elemento di ordine $p$. $\square$