Il teorema di Lagrange è un teorema di importanza fondamentale nella teoria dei gruppi finiti. In questo articolo vedremo di capire l’intuizione dietro al teorema, la sua dimostrazione e alcune conseguenze.
L’intuizione dietro il teorema
Possiamo enunciare il teorema di Lagrange nella maniera seguente:
Teorema di Lagrange. Se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora le sue classi laterali partizionano $G$ e hanno tutte lo stesso numero di elementi.
Supponiamo che $H$ sia dato dagli elementi $\{e, h_1, h_2, \ldots\}$. Includiamo l’identità perché $H$ è un sottogruppo di $G$, e quindi deve includere l’identità. Una classe laterale è definita a partire da $H$ e da un elemento $g \in G$: la classe laterale $gH$ è data dagli elementi $\{g, gh_1, gh_2, \ldots\}$, ovvero moltiplichiamo ogni elemento di $H$ per $g$. Anche se $H$ è un gruppo, in generale $gH$ non è un gruppo ma solo un insieme. Qui abbiamo moltiplicato per $g$ da sinistra, ottenendo la classe laterale sinistra $gH$, ma avremmo anche potuto moltiplicare da destra ottenendo la classe laterale destra $Hg=\{g, h_1 g, h_2 g, \ldots\}$.
Se $g_1$ e $g_2$ sono vicini, $g_1 H$ e $g_2 H$ sono in linea di principio insiemi diversi, perché moltiplichiamo $H$ per $g$ diversi, ma non c’è neanche un motivo per cui non possano essere uguali. Adesso vediamo un esempio che dovrebbe chiarire queste cose.
Consideriamo $D_3$, il gruppo diedrale con $6$ elementi, $D_3 = \{e, r, r^2, s, sr, sr^2\}$ dove $r^3 = s^2 = (sr)^2=1$. Possiamo verificare che $H=\{e,r,r^2\}$ è un sottogruppo, così come anche $K=\{e, s\}$ è un sottogruppo. Consideriamo le classi laterali di $H$. Abbiamo:
\begin{align*}
eH &= \{e,r,r^2\} = H\\
rH &= \{r,r^2,e\} = H\\
r^2H &= \{r^2,e,r\} = H\\
sH &= \{s,sr,sr^2\}\\
srH &= \{sr,sr^2,s\}=sH\\
sr^2H &= \{sr^2,s,sr\}=sH\\
\end{align*}
Vediamo quindi che tutte le classi laterali hanno lo stesso numero di elementi, che è uguale al numero di elementi di $H$. Inoltre abbiamo anche $H=rH=r^2H$ e $sH = srH = sr^2 H$, quindi abbiamo solo due classi laterali distinte: $H$ e $sH$. Queste non hanno nessun elemento in comune, e inoltre $G=H \cup sH$, cioè le due classi laterali partizionano $G$. Possiamo ripetere lo stesso gioco con $K$:
\begin{align*}
eK &= \{e, s\} = K\\
rK &= \{r, rs\} = \{r, sr^2\}\\
r^2K &= \{r^2,sr\}\\
sK &= \{s,e\}=K\\
srK &= \{sr,srs\}=\{sr,r^2\}=r^2 K\\
sr^2K &= \{sr^2,sr^2s\}=\{sr^2,r\}=rK\\
\end{align*}
dove abbiamo usato le relazioni tra gli $r,s$ diverse volte. Questa volta abbiamo tre classi laterali distinte, $K, rK, r^2 K$. Hanno di nuovo tutte lo stesso numero di elementi e partizionano $G$.
Che il numero di elementi rimanga sempre lo stesso non è sorprendente: sappiamo che tutti gli elementi di $H$ sono distinti per definizione; applicando $g$ a tutti gli elementi di $H$ non è possibile avere $gh_1 = g h_2$, perché se così fosse possiamo applicare $g^{-1}$ ottenendo $h_1=h_2$; ma ciò è impossibile perché gli elementi di $H$ sono distinti.
Una cosa che abbiamo notato è che è possibile avere $g_1 H = g_2 H$ anche se $g_1 \neq g_2$. Quando ciò avviene abbiamo $g_1 h_1 = g_2 h_2$ per qualche $h_1, h_2 \in H$ e quindi $g_2^{-1} g_1 = h_2 h_1^{-1} \in H$. Questo criterio è in realtà una condizione necessaria e sufficiente:
Lemma. Due classi laterali $g_1 H$ e $g_2 H$ sono la stessa classe, $g_1 H = g_2 H$ se e solo se $g_2 g_1^{-1} \in H$.
Dimostrazione. Se le due classi laterali sono uguali, $g_1 H = g_2 H$ allora $g_1 h_1 = g_2 h_2$ per qualche $h_1, h_2 \in H$ e quindi $g_2^{-1} g_1 = h_2 h_1^{-1} \in H$.
Al contrario, supponiamo che $g_2^{-1} g_1 \in H$. Allora $g_1 = g_2 h$ per un qualche $h \in H$. Ma $h H = H$, perché $H$ è un gruppo e quindi $g_1 H = g_2 h H = g_2 H$. $\square$
La dimostrazione
Ora ripetiamo l’enunciato per completezza, e lo dimostriamo.
Teorema di Lagrange. Se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora le sue classi laterali partizionano $G$ e hanno tutte lo stesso numero di elementi.
Dimostrazione. Prima dimostriamo che le classi laterali partizionano $G$. Cioè dobbiamo dimostrare che:
- Ogni elemento di $G$ appartiene ad una classe laterale.
- Le classi laterali sono mutualmente disgiunte (cioè non hanno elementi in comune).
Per il primo punto, sappiamo che $H$ è un sottogruppo, quindi contiene l’identità $e$; perciò la classe $gH$ contiene $g$, e quindi le classi laterali contengono tutti gli elementi di $G$. Dobbiamo quindi dimostrare che classi laterali diverse non hanno elementi in comune. Se $x$ appartiene a due classi diverse, diciamo $x \in aH$ e $x \in bH$ allora possiamo scrivere $x= a h_1$ e $x=b h_2$. Quindi $b h_2= a h_1$ e pertanto $b^{-1} a= h_2 h_1^{-1} \in H$. Ne segue che le due classi laterali sono in realtà la stessa classe: lo stesso elemento non può appartenere a classi diverse.
Per dimostrare che hanno tutte lo stesso numero di elementi definiamo una funzione $f: H \to aH$ data dalla formula $f(h) = ah$. La funzione inversa è una funzione $f^{-1}(g): aH \to H$ con $m(g) = a^{-1}g$. Poiché $f$ ha un’inversa, è una funzione ben definita e biettiva. Ma se $f: A \to B$ è biettiva, allora $A$ e $B$ hanno lo stesso numero di elementi, per cui segue che la classe laterale $aH$, generica, ha lo stesso numero di elementi di $H$, e quindi tutte le classi laterali hanno lo stesso numero di elementi. $\square$
Due corollari utili
Nella pratica i due seguenti risultati sono tra i più comunemente utilizzati:
Corollario 1. Se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora l’ordine di $H$ divide l’ordine di $G$.
Dimostrazione. Poiché $H$ è un sottogruppo, dal teorema di Lagrange sappiamo che le classi laterali partizionano $G$ e hanno tutte lo stesso numero di elementi, che è anche lo stesso di $H$. Per cui se $|G:H|$ è il numero di classi laterali, allora $|G| = |G:H| |H|$ e quindi $|H|$ divide $|G|$. $\square$
Corollario 2. Se $g$ è un elemento di $G$, allora l’ordine di $g$ divide l’ordine di $G$.
Dimostrazione. Consideriamo il sottogruppo ciclico $\langle g\rangle$, ovvero $\langle g\rangle = \{e, g, g^2, g^3, \ldots\}$. Innanzitutto, questo è un sottogruppo di $G$. L’ordine di $\langle g\rangle$ è anche l’ordine di $g$ per definizione e segue dal corollario 1 che l’ordine di $\langle g\rangle$ divide $|G|$. $\square$
Notiamo che questi due corollari richiedono che il gruppo sia finito, in modo che $|G|$ sia un numero e quindi possiamo dire che un certo numero divide un altro. Tuttavia il teorema di Lagrange è valido anche per gruppi infiniti.