Consideriamo l’elettrodinamica quantistica, ovvero una teoria di calibro (gauge) $U(1)$ data dall’azione:
$$S[\psi, \bar\psi, A_\mu] = \int d^4 x\, \bqty{-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar\psi (i \gamma^\mu D_\mu-m)\psi}$$
dove $D_\mu = \partial_\mu -ie A_\mu$ è la derivata covariante. L’azione è invariante rispetto alle trasformazioni di calibro (gauge) date da $A_\mu \to A_\mu -\partial_\mu \chi$ e $\psi \to e^{i e \chi} \psi$ per ogni $\chi = \chi(x)$. La parte globale di questa simmetria locale dà luogo ad una corrente conservata tramite il teorema di Noether,
$$j^\mu = e \bar\psi i \gamma^\mu \psi$$
la quale, a sua volta, dà luogo ad una carica conservata $Q= \int d^3 x\, j^0$, che altro non è se non la carica elettrica. In particolare $j^0$ è la densità di carica elettrica.
Tuttavia questa non è l’unica corrente conservata. Possiamo definire un’altra corrente conservata a partire dalla precedente, ovvero
$$\widetilde{j}^\mu = \alpha j^\mu -F^{\mu\nu} \partial_\nu \alpha$$
dove $\alpha = \alpha(x)$ è una funzione arbitraria qualsiasi. Abbiamo infatti:
$$\partial_\mu \widetilde{j}^\mu = j^\mu \partial_\mu \alpha + \alpha \partial_\mu j^\mu -\partial_\mu F^{\mu\nu} \partial_\nu \alpha+ F^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu \alpha$$
Il secondo termine è nullo per la conservazione di $j^\mu$, mentre l’ultimo termine è anch’esso nullo per l’antisimmetria di $F^{\mu\nu}$ e la simmetria delle derivate parziali. Rimaniamo quindi con:
$$\partial_\mu \widetilde{j}^\mu = j^\mu \partial_\mu \alpha -\partial_\mu F^{\mu\nu} \partial_\nu \alpha$$
Ora utilizziamo le equazioni classiche del moto, cioè le equazioni di Maxwell $\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu$. Sostituendo otteniamo esattamente $\partial_\mu \widetilde{j}^\mu = 0$, cioè la nuova corrente $\widetilde{j}^\mu$ è conservata anch’essa. Notiamo che utilizzare le equazioni del moto non è un problema: la conservazione delle correnti (teorema di Noether) vale in generale solo se sono soddisfatte le equazioni del moto.
Questa storia è abbastanza strana: non è chiaro quale possa essere il significato di tale corrente, e inoltre abbiamo tante correnti diverse quante sono le funzioni $\alpha$. Come a tutte le correnti conservate abbiamo associata una carica conservata:
$$Q= \int d^3 x\, \widetilde{j}^0 = \int d^3 x\, \bqty{\alpha j^0 -F^{0 \nu} \partial_\nu \alpha} = \int d^3 x\, \bqty{\alpha \rho + \vec{E} \cdot \nabla \alpha}$$
dove abbiamo scritto $j^0=\rho$, la solita densità di carica elettrica, e abbiamo espresso il tensore elettromagnetico in termini del campo elettrico, $F^{00}=0$ e $F^{0i}=-\vec{E}$. La faccenda si chiarisce un po’ se effettuiamo un’integrazione per parti del secondo termine:
$$Q= \int d^3 x\, \alpha \bqty{\rho -\nabla \cdot\vec{E}} + \lim_{R \to \infty} R^2 \int_{\abs{x} = R}\alpha \vec{E} \cdot d\vec{S}$$
dove abbiamo usato il teorema della divergenza per arrivare all’integrazione sulla “sfera all’infinito”: $R^2 d\vec{S}$ è la misura di integrazione su una sfera di raggio $R$. Il primo termine è nullo per la legge di Gauss $\nabla \cdot\vec{E} = \rho$. Abituati come siamo a scartare i termini di bordo potremmo pensare che anche il secondo termine sia nullo: invece no.
Se abbiamo ad esempio una singola carica elettrica, il campo va come $E \propto 1/R^2$ e quindi il termine di bordo non è nullo. Certo, potremmo scegliere $\alpha$ in modo da annullare il termine di bordo, ma non c’è motivo per farlo. In particolare scegliamo $\alpha = \mathcal{O}(1)$ per $R \to \infty$, ovvero $$\lim_{R\to \infty} \alpha(R, \theta, \phi) = \alpha(\theta, \phi) \tag{*}$$ cioè una funzione arbitraria sulla sfera. Tra un momento vedremo che siamo obbligati ad avere la $(*)$, ma per adesso è una scelta. Notiamo inoltre che se abbiamo due cariche di tipo opposto, cioè un dipolo elettrico, allora $E \propto 1/R^3$ e quindi con la $(*)$ le cariche all’infinito si annullano. Ovvero queste cariche generalizzate sono dovute alla carica elettrica totale non nulla dell’universo.
Abbiamo visto che un termine di bordo non è nullo, e ciò ci dovrebbe fare paura. In particolare, una carica è conservata solo se la corrispondente corrente decade in modo sufficientemente veloce all’infinito. Controlliamo di non avere problemi. Se $Q= \int d^3 x\, j^0$ , allora
$$\dv{Q}{t} = \int d^3 x\, \partial_0 j^0 = -\int d^3 x\, \partial_i j^i \equiv -\int d^3 x\, \nabla \cdot \vec{j} = \lim_{R \to \infty} R^2 \int_{\abs{x} = R} \vec{j} \cdot d\vec{S}$$
Nel nostro caso le componenti spaziali della corrente sono
$$\widetilde{j}^i = \alpha j^i -F^{i\nu} \partial_\nu \alpha = \alpha j^i -\vec{E} \dot{\alpha} -\nabla \alpha \times \vec{B}$$
Dobbiamo quindi integrare sulla sfera all’infinito, moltiplicare per $R^2$ e prendere il limite per $R \to \infty$. Il primo termine è nullo perché la corrente elettrica $j^i$ è localizzata: possiamo pensarla come una funzione delta e quindi è esattamente nulla all’infinito. Il campo elettrico e il campo magnetico al più sono $\mathcal{O}(1/R^2)$ ma non possono andare più rapidamente. Perché il secondo termine sia nullo richiediamo quindi che $\dot{\alpha}=0$. Il terzo termine ci dice che $\alpha$ può crescere al massimo come $\mathcal{O}(1)$, cosicché $\nabla \alpha = \mathcal{O}(1/R)$ e quindi al più il terzo termine sia $\mathcal{O}(1/R^3)$ e quindi vada a zero nel limite. Ci rassicuriamo quindi che la carica è conservata imponendo $\dot{\alpha}=0$ e $\alpha = \mathcal{O}(1)$ per $R \to \infty$.
Riassunto e conseguenze
Riassumendo, abbiamo trovato un numero infinito di cariche conservate
$$Q= \lim_{R \to \infty} R^2 \int_{\abs{x} = R}\alpha \vec{E} \cdot d\vec{S}$$
in relazione alla scelta di $\alpha = \alpha(\theta,\phi)$ all’infinito. Possiamo scegliere una base di funzioni sulla sfera, ad esempio le armoniche sferiche, che ci danno quindi tutte le cariche indipendenti.
La presenza di queste cariche ha effetti drammatici nella teoria quantistica: sono tutte cariche conservate ed Hermitiane. Inoltre, poiché sono definite all’infinito, commutano con tutti gli osservabili locali: come abbiamo già visto, ciò implica la formazione di settori di superselezione dati dagli autovalori delle cariche $Q$. Una spinta (boost) di Lorentz cambia la distribuzione di carica all’infinito, e pertanto cambia le cariche $Q$ e quindi connette settori di superselezione diversi. Pertanto uno stato che trasformi in maniera covariante dovrebbe essere una sovrapposizione di settori di superselezione diversi. Ma ciò non è possibile per la definizione di superselezione, perciò si parla di rottura spontanea della simmetria di Lorentz.
La questione ha un’interpretazione fisica chiara: una carica non può esistere isolata. In natura, ogni volta che estraiamo una carica ne lasciamo una opposta da qualche altra parte: il sistema in totale ha carica nulla e quindi i campi decadono velocemente all’infinito e tutte le cariche sopra sono nulle. Perciò questo non è un problema della teoria fisica, ma un problema della descrizione teorica di una carica singola, o più in generale ogni qual volta si ha a che fare con una forza dovuta ad un bosone a massa nulla come il fotone. Se il bosone vettore avesse massa finita, allora i campi decadrebbero esponenzialmente e tutte le cariche sarebbero di nuovo nulle.