Qualche tempo fa abbiamo visto due dimostrazioni del teorema di Noether, per cui ad ogni simmetria continua di una teoria dei campi è associata una corrente conservata.
Ovvero abbiamo un quadrivettore $j^\mu$, la corrente, che soddisfa $\partial_\mu j^\mu = 0$, ovvero una legge di conservazione. Data una corrente, possiamo definire una carica conservata
$$Q = \int d^3 x\, j^0 \tag{1}$$
La carica $Q$ è reale, perché $j^\mu$ è reale per definizione, conservata, cioè $\dv{Q}{t}=0$ e invariante di Lorentz. Vediamo di dimostrare le ultime due proprietà.
Conservazione della carica
Calcoliamo la derivata della carica,
$$\dv{Q}{t} = \int d^3 x\, \partial_0 j^0 = -\int d^3 x\, \partial_i j^i \equiv -\int d^3 x\, \nabla \cdot \vec{j}=0$$
dove appunto $j^\mu = (j^0, \vec{j})$ e nell’ultimo passaggio abbiamo usato il teorema della divergenza. L’integrale è nullo se $\vec{j} \to 0$ all’infinito in modo sufficientemente rapido, e ciò è vero in molti (ma non tutti) i casi di interesse.
Invarianza di Lorentz
È meno banale, e di certo non evidente dalla $(1)$, che la carica conservata è anche un invariante di Lorentz. È evidente dalla definizione $(1)$ che la carica conservata è invariante per traslazioni (infatti integriamo su tutto lo spazio) e anche per rotazioni (dato che una rotazione tocca solo le componenti spaziali dei campi e la misura $d^3 x$ è palesemente invariante).
Rimane da dimostrare l’invarianza per le “spinte” (boost). Ruotando le coordinate possiamo suppore che la spinta avvenga lungo la direzione $x$. In questo caso abbiamo la spinta di Lorentz $t’ = \gamma(t -\beta x)$, $x’ = \gamma(x -\beta t)$, mentre $y’ = y$ e $z’ = z$, dove come al solito $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$. Come vedete abbiamo questo spiacevole fattore di $t$ nella trasformazione per $x$ che va a inficiare la misura $d^3 x$. Riscriviamo pertanto la carica nella maniera seguente:
$$\begin{align*}
Q &= \int d^3 x \, j^0 =\int d^4 x \, j^0(t, \vec{x}) \delta(t) = \\
&=\int d^4 x \, j^0(t, \vec{x}) \partial_t \theta(t) =\eta^{\mu \nu} \int d^4 x \, j_\mu (t, \vec{x}) \partial_\nu \theta(t)=\\
&=\int d^4 x \, \partial_\mu\bqty{j^\mu (t, \vec{x}) \theta(t)}
\end{align*}$$
dove $\theta(t)$ è la funzione scalino di Heaviside, che soddisfa $\partial_t \theta(t) = \delta(t)$. Abbiamo inoltre usato il fatto che $\partial_i \theta(t) = 0$ per le derivate spaziali, perché $\theta(t)$ non dipende da $\vec{x}$. L’ultimo passaggio segue semplicemente utilizzando la legge di conservazione, $\eta^{\mu\nu} \partial_\nu j_\mu = 0$. Ora applicando la trasformazione di Lorentz
$$Q \to Q’ = \int d^4 x’ \, \partial’_\mu\bqty{j^{\prime\mu} (t’, \vec{x}’) \theta(t’)}=\int d^4 x \, \partial_\mu\bqty{j^{\mu} (t, \vec{x}) \theta(\gamma(t-\beta x))}$$
dove abbiamo usato i seguenti fatti:
- la misura $d^4 x$ è invariante.
- la trasformazione di un quadrivettore è $j^{\prime\mu}(x’) = \Lambda^{\mu}_{\,\,\,\,\nu} j^\nu (x)$.
- le trasformazioni di $j^\mu$ e di $\partial_\mu$ si cancellano a vicenda.
- come abbiamo già visto, $t \to t’ = \gamma( t-\beta x)$.
Ora la differenza tra la carica e la carica trasformata è quindi
$$Q’ -Q=\int d^4 x \, \partial_\mu\bqty{j^{\mu} (t, \vec{x}) \pqty{\theta(\gamma(t-\beta x))-\theta(t)}}$$
Ora spezziamo la somma contratta in una parte temporale e una spaziale,
$$Q’ -Q=\int d^4 x \, \partial_0\bqty{j^{0} (t, \vec{x}) \pqty{\theta(\gamma(t-\beta x))-\theta(t)}} + \int d^4 x \, \partial_i\bqty{j^{i} (t, \vec{x}) \pqty{\theta(\gamma(t-\beta x))-\theta(t)}}$$
Ovvero:
$$Q’ -Q=\int d^3 x \, j^{0} (t, \vec{x}) \pqty{ \theta(\gamma(t-\beta x))-\theta(t)}\bigg\lvert^{t=+\infty}_{t=-\infty} + \int dt \int d^3 x \, \nabla \cdot \bqty{\vec{j}(t, \vec{x}) \pqty{\theta(\gamma(t-\beta x))-\theta(t)}}$$
Il primo termine è nullo perché in entrambi i limiti $t\to \pm \infty$ abbiamo $\theta(\gamma(t-\beta x))-\theta(t) \to 0$, mentre il secondo termine è nullo per il teorema della divergenza, purché $\vec{j}$ decada in modo sufficientemente rapido. Pertanto $Q’=Q$ e la carica è un invariante di Lorentz.
Significato fisico
La corrente non ha di per sé significato fisico. Infatti se $j^\mu$ è conservata, la corrente $j^{\prime\mu} = j^\mu + \partial^\mu \alpha$ per ogni $\alpha$ che soddisfi $\partial_\mu \partial^\mu \alpha =0$ è di nuovo una corrente conservata. Più in generale, data una corrente $j^\mu$, ogni corrente della forma
$$j^{\prime\mu} = j^\mu + \partial_\nu A^{\mu\nu}$$
per un qualsiasi tensore antisimmetrico $A^{\mu\nu}$ è automaticamente conservata per la simmetria delle derivate parziali. Segue quindi che a meno di imporre delle ulteriori condizioni sulla corrente $j^\mu$, il suo valore non può avere significato fisico.
Al contrario, è la carica $Q$ ad avere significato fisico. Questa infatti non solo è conservata e invariante di Lorentz, ma è anche invariante rispetto alle due trasformazioni della corrente che abbiamo appena visto.
Un ulteriore esempio è il tensore energia-impulso $T^{\mu\nu}$, che altro non è se non la corrente conservata rispetto alle traslazioni. Se non specifichiamo ulteriori condizioni, dato un tensore energia-impulso $T^{\mu\nu}$, anche $T^{\mu\nu}+\partial_\rho A_{\mu \nu \rho}$ per $A$ antisimmetrico negli ultimi due indici sarà un tensore energia-impulso altrettanto valido. Per definire un tensore univoco, si può imporre che $T^{\mu\nu}$ sia simmetrico negli indici $\mu,\nu$: ciò corrisponde fisicamente alla conservazione del momento angolare.
Teoria quantistica dei campi
In una teoria quantistica dei campi, le cariche conservate $Q$, che erano reali, diventano degli operatori Hermitiani, rimangono invarianti di Lorentz, e rimangono conservate, cioè in una teoria quantistica, commutano con l’Hamiltoniana.
Poiché commutano con l’Hamiltoniana possiamo diagonalizzarle simultaneamente e separare lo spazio di Hilbert in vari settori in base agli autovalori di $Q$.