L’equazione funzionale di Cauchy è la seguente:
$$f(x) + f(y) = f(x+y)\tag{*}$$
Si chiede di trovare tutte le funzioni $f(x)$ che soddisfino la $(*)$. La soluzione ovvia è $f(x)=\alpha x$ per un qualche $\alpha$. Tuttavia in base alle condizioni che imponiamo su $f$ questa potrebbe essere o no l’unica soluzione.
Il problema sopra ammette infatti diverse varianti: possiamo ad esempio cambiare dominio e codominio di $f$, oppure imporre ulteriori restrizioni. Ora vediamo come risolvere il problema in alcuni casi di interesse.
Funzioni sugli interi
Supponiamo in primo luogo che $x,y$ siano interi. Prima di tutto poniamo $x=y=0$ e otteniamo $2f(0)=f(0)$, per cui $f(0)=0$.
Ora troviamo il valore di $f(n)$ per qualsiasi numero naturale $n$. Ponendo $x=n$ e $y=1$ abbiamo
$$f(n+1) = f(1) + f(n)$$
Perciò $f(n+1)-f(n) = f(1)$ e quindi sommando otteniamo $\sum_{k=0}^{n-1} \bqty{f(k+1)-f(k)} = n f(1)$. La somma a sinistra è stereoscopica: i vari termini della somma si cancellano a vicenda, dando $\sum_{k=0}^{n-1} \bqty{f(k+1)-f(k)}= f(n)-f(0)$. Poiché $f(0)=0$, abbiamo quindi
$$f(n) = n f(1) \tag{1}$$
Questa è soluzione del problema nel caso in cui $f$ sia una funzione sui naturali, dove $f(1)$ è del tutto arbitrario. Se invece $n$ è intero, può anche essere negativo. Ponendo $x=n$, $y=-n$ in $(*)$ abbiamo $f(n)+f(-n) = f(0)=0$, e quindi $f(n) = -f(n)=-n f(1)$. Concludiamo quindi che la $(1)$ è valida anche su tutti gli interi.
Notiamo che $f(1)$ può essere anche un numero reale o un numero complesso: l’unica cosa che conta per ottenere la $(1)$ è che $f$ sia una funzione di una variabile intera.
Funzioni dai razionali ai razionali
Risolviamo ora il problema nel caso in cui $f(x)$ è una funzione di una variabile razionale $x \in \Q$.
Se $x$ è razionale e $n$ intero un ragionamento simile a quello del caso precedente mostra che $f(x n) = f(x) + f(x) + \cdots + f(x) = n f(x)$.
Ora se $x$ è razionale, allora può essere scritto come $x=p/q$ con $p,q$ razionali. Poiché $f(xn)=nf(x)$, scegliendo $n=q$ abbiamo $f\pqty{\frac{p}{q} q} = q f\pqty{\frac{p}{q}}$. Ovvero,
$$f\pqty{\frac{p}{q}} =f(1) \frac{p}{q} \tag{2}$$
dove abbiamo usato il fatto che $f\pqty{p} = f(1) p$ per $p$ naturale. Abbiamo quindi dimostrato che $f(x) = f(1) x$ per ogni $x$ razionale.
Ovvero nel caso in cui $f$ sia una funzione di una variabile razionale, allora l’unica soluzione dell’equazione funzionale di Cauchy è lineare.
Funzioni sui numeri reali
Ora andiamo al caso più interessante, ovvero quello in cui $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
Per fare progressi, supponiamo che $f$ sia continua. Allora possiamo utilizzare il risultato sui razionali per dedurre lo stesso risultato sui numeri reali.
Infatti, supponiamo di voler calcolare $f(x)$ per $x$ reale. Per definizione di numero reale, esiste quindi una sequenza $x_n$ di numeri razionali tale che $x_n \to x$ per $n \to \infty$. Poiché gli $x_n$ sono razionali, sappiamo che $f(x_n) = f(1) x_n$. Poiché $f$ è continua, $f(x_n) \to f(x)$ per $n \to \infty$. Per cui prendendo il limite abbiamo $f(x) = f(1) x$ per ogni $x$ reale. Per cui se $f$ è una funzione continua di variabile reale, allora
$$f(x)=f(1) x$$
cioè di nuovo $f$ è lineare. Altri matematici più bravi di noi hanno indebolito la condizione di continuità. Abbiamo infatti:
Teorema. Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una soluzione dell’equazione di Cauchy $(*)$. Supponiamo che una delle seguenti condizioni sia valida:
- $f$ è continua in almeno un punto;
- $f$ è monotona in un qualche intervallo;
- $f$ è limitata in un qualche intervallo;
- $f$ è integrabile.
Allora $f(x) = f(1) x$ per qualsiasi reale $x$.
Come vedete le condizioni del teorema sono molto generiche, ma la cosa più interessante è che esistono delle soluzioni non lineari dell’equazione di Cauchy $(*)$. Ovvero è possibile costruire delle funzioni che soddisfano l’equazione funzionale di Cauchy ma non sono della forma $f(x) = \alpha x$ e quindi inoltre violano tutte le condizioni sopra: non sono continue in nessun punto, non sono limitate né monotone in nessun intervallo, e non sono integrabili. Queste funzioni sono perciò parecchio strane, e poiché la loro costruzione richiede l’assioma della scelta, non è possibile darne una formula esplicita.
Definizione di funzione lineare
La discussione precedente ha delle implicazioni per quanto riguarda la definzione di funzione lineare. Tipicamente una funzione lineare deve soddisfare le due condizioni:
- $f(x+y) = f(x)+f(y)$
- $f(\alpha x) = \alpha f(x)$
Per le funzioni di variabile razionale la seconda condizione non è necessaria perché implicata dalla prima. Tuttavia a meno di ulteriori supposizioni su $f$ (come appunto la continuità o le altre elencate sopra), esistono delle funzioni di variabile reale che soddisfano la prima condizione ma non la seconda.
Pertanto in linea generale per definire una funzione lineare non basta la prima condizione, ma sono necessarie entrambe.
Versione moltiplicativa
Un rapido appunto riguarda una semplice variante del problema, che può essere formulato moltiplicativamente. Cioè possiamo cercare tutte le $f$ che soddisfano
$$f(x)f(y)=f(x+y) \tag{**}$$
Una $f$ che soddisfi la $(**)$ è necessariamente positiva. Ciò si può dimostrare facilmente, infatti:
$$f(x) = f\pqty{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}} = f\pqty{\frac{x}{2}}f\pqty{\frac{x}{2}} = \pqty{f\pqty{\frac{x}{2}}}^2 > 0$$
Perciò poiché $f$ è positiva, possiamo prendere il logaritmo da entrambi i lati ottenendo:
$$\log{f(x)}+\log{f(y)} = \log{f(x+y)}$$
Per cui $\log{f(x)}$ soddisfa la $(*)$ e quindi la soluzione ovvia in questo caso è $f(x) = e^{\alpha x}$ per un qualche $\alpha$, ma come prima potremmo avere altre soluzioni. Per cui questo caso si riduce interamente al precedente.
Un’altra versione moltiplicativa
Un’altra variante moltiplicativa dell’equazione di Cauchy è la seguente:
$$f(x)f(y)=f(xy) \tag{***}$$
In questo caso la soluzione ovvia è $f(x) = x^\alpha$ per un qualche $\alpha$, tuttavia in questo caso i dettagli sono un po’ più complessi.
Per numeri positivi possiamo risolvere il problema ponendo $x = e^{u}$ e $y = e^{v}$, per cui ponendo $f(x)=f(e^u) = g(u)$ abbiamo $g(u+v) = g(u)g(v)$, che è il caso moltiplicativo precedente.
Nel caso $x$ generico, invece, ponendo $y = x$ abbiamo $f(x)^2 = f(x^2)$, e quindi scambiando $x \to -x$ otteniamo $f(-x)^2 = f(x^2)$, per cui $f(-x) = \pm f(x)$. Quindi per $x$ negativo abbiamo $f(x) = |x|^{\alpha}$, oppure $f(x) = -|x|^{\alpha}$.
Supponendo che $f$ sia continua dappertutto, oltre alla soluzione banale $f(x) \equiv 0$, abbiamo anche $f(x) = |x|^{\alpha}$ e $f(x) = \mathrm{sgn}(x) |x|^{\alpha}$. Se invece della continuità dappertutto abbiamo la continuità solo in un punto oppure un’altra delle condizioni più deboli sopra, le soluzioni possono essere ancora più complicate.