In questo articolo vedremo come trattare alcuni “infiniti” che appaiono già in problemi di fisica classica. Le idee di base del problema saranno poi utili anche in meccanica quantistica e teoria quantistica dei campi. Seguiamo Carl Turner, in un documento che purtroppo non riesco più a trovare online.
Consideriamo un filo infinitamente lungo con densità di carica $\lambda$. Vogliamo trovare il potenziale $\phi(x)$, che è dato dalla soluzione dell’equazione di Poisson
\begin{equation}
\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
\end{equation} in unità SI. Mettendo il filo sull’asse $z$, abbiamo $\rho(\mathbf{x})=\lambda \delta(x)\delta(y)$. La soluzione del problema è data in termini di una funzione di Green,
\begin{equation}
\phi(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int d^3\mathbf{y} \frac{\rho(\mathbf y)}{\abs{\mathbf x -\mathbf y}}
\end{equation} dove ignoriamo una sottigliezza con le condizioni al contorno: questa scelta della funzione di Green è valida assumendo un decadimento sufficientemente rapido all’infinito, ma ciò non è assicurato perché $\rho$ non è localizzata.
Il campo sarà cilindricamente simmetrico, per cui ad una distanza $r$ dal filo,
\begin{equation}
\phi(r) = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \int_{-\infty}^{+\infty} dy \frac{1}{\sqrt{r^2 + y^2}}
\end{equation} Questo integrale può essere effettuato esattamente:
\begin{equation}
\phi(r) = \frac{\lambda}{8\pi\epsilon_0} \log{\bqty{\frac{y+\sqrt{r^2 + y^2}}{-y+\sqrt{r^2 + y^2}}}}\bigg\lvert_{-\infty}^{+\infty} = +\infty
\end{equation} Avremmo anche potuto indovinare che il risultato sarebbe stato infinito senza calcolare l’integrale esplicitamente: infatti per $y$ grande l’integranda va come $1/y$, per cui l’integrale va come $\log{y}$, che è divergente per $y$ grande.
Questo risultato è del tutto inutile per calcolare il campo elettrico, che è ciò che ci interessa veramente. La maniera più semplice di sistemare questo problema è uno dei soliti trucchetti da fisico: scambiare i limiti. In questo caso infatti il campo elettrico è puramente radiale e dato da
\begin{equation}
E_r = -\pdv{\phi}{r}
\end{equation} Ora portiamo la derivata dentro all’integrale nella definizione di $\phi$:
\begin{equation}
E_r = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \int_{-\infty}^{+\infty} dy \frac{r}{\pqty{r^2 + y^2}^{3/2}}
\end{equation} Anche questo integrale può essere risolto esattamente, e dà
\begin{equation}
E_r = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \frac{y}{r\sqrt{r^2 + y^2}} \bigg\lvert_{-\infty}^{+\infty} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}
\end{equation} Ora, non solo questa risposta è sensata, ma ci mostra anche cosa non abbia funzionato prima. Se $E_r \propto 1/r$, allora $\phi \propto \log{r}$. Tuttavia, come sappiamo, non possiamo prendere il logaritmo di una quantità dimensionale, perciò ciò che intendiamo veramente è $\phi \propto \log{\pqty{r/r_0}}$. Qui $r_0$ è semplicemente una costante e si cancella nella derivata quando calcoliamo il campo elettrico; tuttavia è comunque necessaria perché $\phi$ sia definito: senza di essa non potremmo calcolare in pratica $\phi(r)$, perché appunto ci troveremmo a calcolare il logaritmo di una quantità dimensionale. Tuttavia, le uniche quantità dimensionali presenti nel problema sono $\lambda$ e $\epsilon_0$, e non c’è nessuna maniera di combinarle per ottenere una lunghezza. Perciò, proprio per questa mancanza di una scala di lunghezza, non avevamo speranza di trovare una $\phi$ ben definita.
Riassumendo, abbiamo trovato il campo elettrico $E_r$ anche se non siamo in grado di trovare un $\phi$ ben definito. Inoltre, per trovare $E_r$ abbiamo usato un metodo un po’ raffazzonato. La risposta ha senso, ma siamo sicuri che è giusta? C’è una maniera più fisica di affrontare il problema?
Ora vediamo una maniera diversa di ottenere la stessa risposta. In realtà, quando abbiamo detto che il nostro filo era “infinito”, non intendevamo veramente “infinito”. Piuttosto volevamo dire che il nostro filo ha una certa lunghezza finita, diciamo $2L$, e che ci interessa calcolare il campo elettrico nelle vicinanze del filo, cioè per $r \ll L$. Quest’approssimazione si traduce in termini matematici nell’assumere che il campo sia cilindricamente simmetrico, e quindi
\begin{equation}
\phi(r) = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \int_{-L}^{L} dy \frac{1}{\sqrt{r^2 + y^2}} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \log{\bqty{\frac{L+\sqrt{r^2 + L^2}}{-L+\sqrt{r^2 + L^2}}}}
\end{equation} Con questa nuova formulazione del problema abbiamo una scala di lunghezza, $L$, e grazie ad essa siamo riusciti a trovare un potenziale elettrico ben definito. Tuttavia, per com’è, la formula per $\phi$ ancora non è del tutto valida: infatti, per derivarla abbiamo supposto che il potenziale fosse cilindricamente simmetrico, ma ciò è valido solo per $r \ll L$. Per essere coerenti, dovremmo quindi espandere l’equazione per $r/L$ piccolo:
\begin{equation}
\phi(r) = \frac{\lambda}{8\pi\epsilon_0} \log{\bqty{\frac{L+\sqrt{r^2 + L^2}}{-L+\sqrt{r^2 + L^2}}}} = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \log{\frac{r}{2L}} +\order{\frac{r^2}{L^2}}
\end{equation} Ora calcolando la derivata otteniamo
\begin{equation}
E_r = -\pdv{\phi}{r} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}
\end{equation} a meno di correzioni, che è la stessa formula che abbiamo trovato prima; siamo quindi più convinti che questa sia la risposta esatta.
L’ultima cosa che proviamo a fare è mandare $L \to \infty$. Esiste una maniera per farlo? Chiaramente ciò non è possibile per il potenziale $\phi(r)$, che ha bisogno di una scala di lunghezza per essere ben definito. Tuttavia ciò è possibile per tutte le quantità che siano fisicamente misurabili. Ad esempio la differenza di potenziale è indipendente da $L$ al prim’ordine:
\begin{equation}
\phi(r) -\phi(r’) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \log{\frac{r}{r’}} +\order{\frac{r^2+r’^2}{L^2}} \to -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \log{\frac{r}{r’}}
\end{equation} per $L$ grande. Alla stessa maniera, il limite $L \to \infty$ è ben definito per il campo elettrico, un’altra quantità fisica.
Riassumiamo brevemente il succo del discorso: abbiamo iniziato calcolando il potenziale in un’approssimazione precisa, quella secondo cui eravamo vicini al filo carico. Tuttavia, non avevamo nessun parametro che controllasse se l’approssimazione fosse valida o meno. Perciò nel fare i calcoli stavamo implicitamente supponendo che la nostra teoria fosse valida dappertutto, anche al di là dall’approssimazione in cui l’avevamo calcolata, e ciò dava dei risultati infiniti. La mancanza del parametro era manifestata anche nell’impossibilità di costruire una scala di lunghezza, che pure ci serviva per motivi dimensionali. Per risolvere questi problemi abbiamo introdotto un “regolatore” $L$, che ci serve appunto a capire la validità della nostra approssimazione; nel limite appropriato, tutte le quantità fisiche sono inoltre indipendenti da $L$.