In meccanica quantistica si sente spesso parlare di “regole di selezione” oppure di “regole di superselezione”. Vediamo cosa sono e a cosa servono.
Regole di selezione
Si dice che esiste una regola di selezione tra due stati $\ket{\psi_1}$ e $\ket{\psi_2}$ se data l’Hamiltoniana $H$ del sistema, abbiamo $$\bra{\psi_1}H\ket{\psi_2} =0$$
Da un punto di vista fisico, l’ampiezza di probabilità di una transizione $\psi_2 \to \psi_1$ in un tempo $t$ è data da $\bra{\psi_1}e^{-i H t}\ket{\psi_2} $. Supponendo che gli stati siano ortogonali inizialmente e approssimando l’esponenziale al prim’ordine, abbiamo che l’ampiezza di transizione è data da $-i t \bra{\psi_1}H\ket{\psi_2}$. Quindi una regola di selezione proibisce una transizione al prim’ordine tra due stati.
Notiamo che ciò non proibisce la transizione di per sé. Infatti se anche $\bra{\psi_1}H^n\ket{\psi_2}$ è zero per $n=1$, non è detto che lo sia per $n=2,3,\ldots$ e quindi è possibile che $\bra{\psi_1}e^{itH}\ket{\psi_2} \neq 0$.
In alcuni casi la “regola di selezione” proibisce la transizione ad ogni ordine: ad esempio tramite evoluzione temporale non si può passare da uno stato con momento angolare nullo ad uno con momento angolare non nullo, se il momento angolare è conservato.
Regole di superselezione
Al contrario, una regola di superselezione è un concetto più complesso. Si ha una regola di superselezione quando non tutti gli operatori Hermitiani sono osservabili.
Si dice spesso che ogni operatore Hermitiano è osservabile, cioè possiamo misurare il sistema in una base dei suoi autovettori, ma in realtà non abbiamo nessuna dimostrazione di questo fatto. Rimane vero che un’osservabile dev’essere hermitiano, ma non viceversa: ovvero è del tutto plausibile che alcuni operatori hermitiani non possono essere osservati. Ciò può essere per vari motivi: ad esempio per limiti pratici sperimentali, oppure a causa di certe simmetrie, oppure per questioni di causalità, come vedremo in seguito.
Dopo questa premessa, possiamo dire che esiste una regola di superselezione tra due stati $\ket{\psi_1}$ e $\ket{\psi_2}$ se abbiamo $\bra{\psi_1}A\ket{\psi_2} =0$ per qualsiasi osservabile fisico $A$. Ciò in particolare implica che $\bra{\psi_1}e^{-itH}\ket{\psi_2}=0$, cioè l’evoluzione temporale non potrà mai connettere i due stati. Ma è in realtà una condizione molto più forte, come stiamo per vedere.
La superselezione chiaramente non può valere per ogni operatore Hermitiano: infatti dati due stati ortogonali $\ket{\psi_1}$ e $\ket{\psi_2}$, possiamo sempre scegliere $$A = \ket{\psi_1}\bra{\psi_2}+\ket{\psi_2}\bra{\psi_1}$$ che è Hermitiano, per il quale abbiamo $\bra{\psi_1}A\ket{\psi_2} = 1$. Perciò ogni qual volta parliamo di superselezione, è essenziale che alcuni operatori Hermitiani non siano osservabili.
Data una regola di superselezione, lo spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ sarà scomposto in una somma di sottospazi $\mathcal{H} = \oplus_i \mathcal{H}_i$ tale che vettori appartenenti a sottospazi diversi siano separati da una regola di superselezione. Ognuno degli $\mathcal{H}_i$ è detto settore di superselezione.
La conseguenza più importante, tuttavia, è che non è possibile avere una sovrapposizione di stati in diversi settori di superselezione. Quest’affermazione va qualificata: per i postulati della meccanica quantistica è sempre possibile formare una sovrapposizione. Tuttavia, in presenza di una regola di superselezione non è possibile distinguere una sovrapposizione quantistica da una miscela statistica.
Vediamo meglio l’ultimo punto. Supponiamo di avere due settori di superselezione. Supponiamo inoltre che $A$ sia un’osservabile fisico ammesso e che $\ket{\psi_1}$ e $\ket{\psi_2}$ appartengano a settori di superselezione diversi. Una loro sovrapposizione quantistica è $$\ket{\psi} = \alpha \ket{\psi_1}+\beta \ket{\psi_2}$$ Possiamo quindi calcolare il valore atteso di $A$ e troviamo: $$\bra{\psi}A\ket{\psi} = \abs{\alpha}^2\bra{\psi_1}A\ket{\psi_1} + \abs{\beta}^2\bra{\psi_2}A\ket{\psi_2}$$ Se invece i due stati fossero in una miscela statistica classica data dalla matrice di densità $$\rho = \abs{\alpha}^2\ket{\psi_1}\bra{\psi_1} + \abs{\beta}^2 \ket{\psi_2}\bra{\psi_2}$$ allora troveremmo $$\langle A \rangle = \mathrm{tr}(\rho A) = \abs{\alpha}^2\bra{\psi_1}A\ket{\psi_1} + \abs{\beta}^2\bra{\psi_2}A\ket{\psi_2}$$ che è identico a quello che abbiamo trovato nel caso della sovrapposizione quantistica. Pertanto non c’è differenza tra miscela classica e sovrapposizione quantistica. Possiamo perciò assumere che non esistano sovrapposizioni di stati in diversi settori di superselezione: se anche ci fossero non saremmo in grado di distinguerli da una miscela classica, e quindi non abbiamo modo di dire che i due stati sono in una sovrapposizione quantistica.
Superselezione e cariche conservate
Un caso particolare in cui si hanno delle regole di superselezione è in presenza di cariche conservate. Ovvero degli operatori hermitiani $Q$ che commutano con l’Hamiltoniana, $[H,Q]=0$, tipicamente dovuti ad una simmetria. In tal caso, lo spazio di Hilbert si decompone naturalmente in una somma di autospazi di $Q$, $\mathcal{H} = \oplus_i \mathcal{H}_i$ in base agli autovalori della carica conservata.
Se inoltre inizialmente lo stato iniziale appartiene ad uno dei settori di superselezione, allora l’evoluzione temporale non potrà cambiare questo fatto, perché la carica conservata commuta con l’Hamiltoniana. Perciò, se lo stato iniziale è in un autovalore della carica, ci rimarrà per sempre. In questo senso l’esistenza di una regola di superselezione dipende dalle condizioni iniziali del sistema: e questa è un assunzione che può o non può essere vera, come possiamo vedere facendo alcuni esempi.
Ad esempio, si ritiene che non sia possibile avere sovrapposizione quantistica di stati con carica elettrica diversa. Ciò perché si ritiene che non ci siano dati naturalmente stati con sovrapposizioni di diverse cariche elettriche. Non sappiamo perché sia così, ma pare che sia così. Al contrario per l’impulso (o quantità di moto) o per il momento angolare abbiamo stati che siano una sovrapposizione di diversi impulsi, ad esempio; per cui nonostante l’impulso sia una quantità conservata, non causa una una regola di superselezione. Alla stessa maniera, si ritiene, pur senza dimostrazione, che non sia possibile una sovrapposizione di uno stato bosonico con uno stato fermionico.
Un ultimo esempio c’entra con la causalità: in una teoria dei campi relativistica, la carica elettrica è misurata da un’integrale all’infinito:
$$Q = \lim_{R \to \infty} \int_{\abs{x} = R} \mathbf{E} \cdot \mathbf{dS}$$
dove $\mathbf{E}$ è il campo elettrico e $\mathbf{dS}$ l’elemento di area sulla sfera. Poiché siamo osservatori limitati, è ragionevole che un osservabile debba essere locale: cioè definito in una regione limitata dello spazio. Perciò possiamo accettare come osservabili fisici solo quegli operatori hermitiani definiti in una regione limitata. Un osservabile locale per definizione commuterà con ogni osservabile al di fuori della regione limitata dove è definito. Pertanto commuterà con la carica elettrica, che è definita all’infinito. Quindi la carica elettrica, o ogni altro osservabile definito all’infinito, definirà dei settori di superselezione.